Theorem lbinfmcl 6010

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains its infimum.

Assertion

Ref	Expression
lbinfmcl	|- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> sup(S, RR, `' < ) e. S)

Distinct variable group:   x,y,S

Proof of Theorem lbinfmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbinfm 6009	. 2 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> sup(S, RR, `' < ) = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
2		lbcl 6007	. 2 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} e. S)
3	1, 2	eqeltrd 1547	1 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> sup(S, RR, `' < ) e. S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645  {crab 1647   (_ wss 2045  U.cuni 2500   class class class wbr 2616  `'ccnv 3166  supcsup 4560  RRcr 5220   <_ cle 5282   < clt 5473

This theorem is referenced by:  infmssuzcl 6416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-ltp 5077  df-enr 5153  df-nr 5154  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-c 5227  df-r 5231  df-lt 5234  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478

Copyright terms: Public domain