Theorem lble 5994

Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is less than or equal to all members of the set.

Assertion

Ref	Expression
lble	|- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)

Distinct variable groups:   x,y,S   y,A

Proof of Theorem lble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1679	. . . . . . . . 9 |- (A.y e. S x <_ y -> A.yA.y e. S x <_ y)
2		ax-17 968	. . . . . . . . 9 |- (w e. S -> A.y w e. S)
3	1, 2	hbrab 1765	. . . . . . . 8 |- (w e. {x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w e. {x e. S | A.y e. S x <_ y})
4	3	hbuni 2499	. . . . . . 7 |- (w e. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w e. U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
5		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. <_ -> A.y w e. <_ )
6		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. A -> A.y w e. A)
7	4, 5, 6	hbbr 2648	. . . . . 6 |- (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A -> A.yU.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
8		breq2 2613	. . . . . 6 |- (y = A -> (U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A))
9	7, 8	rcla4 1862	. . . . 5 |- (A e. S -> (A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A))
10	9	imp 350	. . . 4 |- ((A e. S /\ A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
11		lbreu 5992	. . . . . 6 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!x e. S A.y e. S x <_ y)
12		breq1 2612	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
13	12	ralbidv 1655	. . . . . . 7 |- (x = w -> (A.y e. S x <_ y <-> A.y e. S w <_ y))
14	13	cbvreuv 1793	. . . . . 6 |- (E!x e. S A.y e. S x <_ y <-> E!w e. S A.y e. S w <_ y)
15	11, 14	sylib 198	. . . . 5 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!w e. S A.y e. S w <_ y)
16		breq1 2612	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w <_ y <-> x <_ y))
17	16	ralbidv 1655	. . . . . 6 |- (w = x -> (A.y e. S w <_ y <-> A.y e. S x <_ y))
18	4	hbeleq 1559	. . . . . . 7 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> A.y w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y})
19		breq1 2612	. . . . . . 7 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (w <_ y <-> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y))
20	18, 19	ralbid 1653	. . . . . 6 |- (w = U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} -> (A.y e. S w <_ y <-> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y))
21	17, 20	reuuni3 2876	. . . . 5 |- (E!w e. S A.y e. S w <_ y -> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y)
22	15, 21	syl 10	. . . 4 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> A.y e. S U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ y)
23	10, 22	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. S /\ (S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y)) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
24	23	3impb 827	. 2 |- ((A e. S /\ S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)
25	24	3coml 838	1 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A e. S) -> U.{x e. S | A.y e. S x <_ y} <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  E!wreu 1639  {crab 1640   (_ wss 2037  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  RRcr 5205   <_ cle 5267

This theorem is referenced by:  lbinfm 5995  lbinfmle 5997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

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