Theorem lbreu 6047

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound.

Assertion

Ref	Expression
lbreu	|- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!x e. S A.y e. S x <_ y)

Distinct variable group:   x,y,S

Proof of Theorem lbreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . . . . . . 9 |- (y = w -> (x <_ y <-> x <_ w))
2	1	rcla4v 1876	. . . . . . . 8 |- (w e. S -> (A.y e. S x <_ y -> x <_ w))
3		breq2 2628	. . . . . . . . 9 |- (y = x -> (w <_ y <-> w <_ x))
4	3	rcla4v 1876	. . . . . . . 8 |- (x e. S -> (A.y e. S w <_ y -> w <_ x))
5	2, 4	im2anan9r 566	. . . . . . 7 |- ((x e. S /\ w e. S) -> ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
6		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S (_ RR -> (x e. S -> x e. RR))
7		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S (_ RR -> (w e. S -> w e. RR))
8	6, 7	anim12d 560	. . . . . . . . . . . 12 |- (S (_ RR -> ((x e. S /\ w e. S) -> (x e. RR /\ w e. RR)))
9	8	impcom 351	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. S /\ w e. S) /\ S (_ RR) -> (x e. RR /\ w e. RR))
10		letri3t 5529	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
11	9, 10	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. S /\ w e. S) /\ S (_ RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
12	11	biimprd 154	. . . . . . . . 9 |- (((x e. S /\ w e. S) /\ S (_ RR) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w))
13	12	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((x e. S /\ w e. S) -> (S (_ RR -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w)))
14	13	com23 32	. . . . . . 7 |- ((x e. S /\ w e. S) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> (S (_ RR -> x = w)))
15	5, 14	syld 27	. . . . . 6 |- ((x e. S /\ w e. S) -> ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> (S (_ RR -> x = w)))
16	15	com3r 35	. . . . 5 |- (S (_ RR -> ((x e. S /\ w e. S) -> ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> x = w)))
17	16	r19.21aivv 1723	. . . 4 |- (S (_ RR -> A.x e. S A.w e. S ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> x = w))
18	17	anim2i 335	. . 3 |- ((E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ S (_ RR) -> (E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A.x e. S A.w e. S ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> x = w)))
19	18	ancoms 438	. 2 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> (E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A.x e. S A.w e. S ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> x = w)))
20		breq1 2627	. . . 4 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
21	20	ralbidv 1666	. . 3 |- (x = w -> (A.y e. S x <_ y <-> A.y e. S w <_ y))
22	21	reu4 1937	. 2 |- (E!x e. S A.y e. S x <_ y <-> (E.x e. S A.y e. S x <_ y /\ A.x e. S A.w e. S ((A.y e. S x <_ y /\ A.y e. S w <_ y) -> x = w)))
23	19, 22	sylibr 200	1 |- ((S (_ RR /\ E.x e. S A.y e. S x <_ y) -> E!x e. S A.y e. S x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  E!wreu 1650   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  RRcr 5245   <_ cle 5307

This theorem is referenced by:  lbcl 6048  lble 6049  uzwo2 6458  uzinfm 6463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

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