Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvp Unicode version

Theorem lcvp 29569
Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 23861 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvp.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lcvp.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lcvp.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lcvp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvp.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lcvp  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  }  <-> 
U C ( U 
.(+)  Q ) ) )

Proof of Theorem lcvp
StepHypRef Expression
1 lcvp.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lcvp.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lcvp.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
4 lcvp.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
5 lcvp.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 16161 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lcvp.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
9 lcvp.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
102, 3, 7, 9lsatlssel 29526 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
112lssincl 16024 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  Q  e.  S )  ->  ( U  i^i  Q )  e.  S )
127, 8, 10, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  Q
)  e.  S )
131, 2, 3, 4, 5, 12, 9lsatcveq0 29561 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q ) C Q  <->  ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  } ) )
14 lcvp.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
152, 14, 4, 7, 8, 10lcvexch 29568 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q ) C Q  <->  U C
( U  .(+)  Q ) ) )
1613, 15bitr3d 247 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  }  <-> 
U C ( U 
.(+)  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3306   {csn 3801   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   0gc0g 13706   LSSumclsm 15251   LModclmod 15933   LSubSpclss 15991   LVecclvec 16157  LSAtomsclsa 29503    <oLL clcv 29547
This theorem is referenced by:  lsatexch  29572  lsatnle  29573  lsatcv0eq  29576  lsatcvatlem  29578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-0g 13710  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-subg 14924  df-cntz 15099  df-oppg 15125  df-lsm 15253  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-drng 15820  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-lvec 16158  df-lsatoms 29505  df-lcv 29548
  Copyright terms: Public domain W3C validator