Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvp Unicode version

Theorem lcvp 28497
Description: Covering property of Definition 7.4 of [MaedaMaeda] p. 31 and its converse. (cvp 22947 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvp.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lcvp.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lcvp.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lcvp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvp.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lcvp  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  }  <-> 
U C ( U 
.(+)  Q ) ) )

Proof of Theorem lcvp
StepHypRef Expression
1 lcvp.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lcvp.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lcvp.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
4 lcvp.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
5 lcvp.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 15853 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lcvp.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
9 lcvp.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
102, 3, 7, 9lsatlssel 28454 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
112lssincl 15716 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  Q  e.  S )  ->  ( U  i^i  Q )  e.  S )
127, 8, 10, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  Q
)  e.  S )
131, 2, 3, 4, 5, 12, 9lsatcveq0 28489 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q ) C Q  <->  ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  } ) )
14 lcvp.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
152, 14, 4, 7, 8, 10lcvexch 28496 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q ) C Q  <->  U C
( U  .(+)  Q ) ) )
1613, 15bitr3d 248 1  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  }  <-> 
U C ( U 
.(+)  Q ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1624    e. wcel 1685    i^i cin 3152   {csn 3641   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   0gc0g 13394   LSSumclsm 14939   LModclmod 15621   LSubSpclss 15683   LVecclvec 15849  LSAtomsclsa 28431    <oLL clcv 28475
This theorem is referenced by:  lsatexch  28500  lsatnle  28501  lsatcv0eq  28504  lsatcvatlem  28506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-0g 13398  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-subg 14612  df-cntz 14787  df-oppg 14813  df-lsm 14941  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850  df-lsatoms 28433  df-lcv 28476
  Copyright terms: Public domain W3C validator