MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Unicode version

Theorem leadd1dd 9473
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 9453 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   class class class wbr 4102  (class class class)co 5942   RRcr 8823    + caddc 8827    <_ cle 8955
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10435  xleadd1a  10662  fzoaddel  10995  fladdz  11039  bernneq3  11319  caucvgrlem  12236  eirrlem  12573  vdwlem3  13121  vdwlem9  13127  vdwlem10  13128  2expltfac  13196  pcoass  18620  minveclem2  18888  ovolfiniun  18958  ovolshftlem1  18966  unmbl  18993  uniioombllem5  19040  opnmbllem  19054  vitalilem2  19062  itg2split  19202  dvfsumlem2  19472  dvfsumlem4  19474  dvfsum2  19479  fta1glem2  19650  coemullem  19729  fta1lem  19785  leibpi  20343  log2tlbnd  20346  jensenlem2  20387  harmonicubnd  20409  harmonicbnd4  20410  ppiub  20549  bcmono  20622  bposlem5  20633  mulog2sumlem2  20790  selberg2lem  20805  chpdifbndlem1  20808  pntrlog2bndlem2  20833  pntpbnd2  20842  pntibndlem2  20846  pntlemg  20853  pntlemk  20861  pntlemo  20862  qabvle  20880  ostth2lem3  20890  minvecolem2  21562  dya2icoseg  23891  lgamgulmlem5  24066  lgambdd  24070  rescon  24181  supaddc  25482  itg2addnc  25494  trirn  25787  bfplem2  25870  pellexlem2  26238  rmygeid  26374  jm3.1lem2  26434  climsuselem1  27056  stirlinglem5  27150  stirlinglem7  27152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960
  Copyright terms: Public domain W3C validator