MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd1dd 9642
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 9622 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991    + caddc 8995    <_ cle 9123
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10606  xleadd1a  10834  fzoaddel  11177  fladdz  11229  bernneq3  11509  caucvgrlem  12468  eirrlem  12805  vdwlem3  13353  vdwlem9  13359  vdwlem10  13360  2expltfac  13428  pcoass  19051  minveclem2  19329  ovolfiniun  19399  ovolshftlem1  19407  unmbl  19434  uniioombllem5  19481  opnmbllem  19495  vitalilem2  19503  itg2split  19643  dvfsumlem2  19913  dvfsumlem4  19915  dvfsum2  19920  fta1glem2  20091  coemullem  20170  fta1lem  20226  leibpi  20784  log2tlbnd  20787  jensenlem2  20828  harmonicubnd  20850  harmonicbnd4  20851  ppiub  20990  bcmono  21063  bposlem5  21074  mulog2sumlem2  21231  selberg2lem  21246  chpdifbndlem1  21249  pntrlog2bndlem2  21274  pntpbnd2  21283  pntibndlem2  21287  pntlemg  21294  pntlemk  21302  pntlemo  21303  qabvle  21321  ostth2lem3  21331  minvecolem2  22379  reofld  24282  dya2icoseg  24629  lgamgulmlem5  24819  lgambdd  24823  rescon  24935  supaddc  26239  opnmbllem0  26244  itg2addnclem3  26260  trirn  26459  bfplem2  26534  pellexlem2  26895  rmygeid  27031  jm3.1lem2  27091  climsuselem1  27711  stoweidlem1  27728  stoweidlem11  27738  stoweidlem14  27741  stoweidlem26  27753  stoweidlem44  27771  stirlinglem11  27811  ltdifltdiv  28150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128
  Copyright terms: Public domain W3C validator