MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lecasei Unicode version

Theorem lecasei 9168
Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
lecase.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lecase.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lecase.3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ps )
lecase.4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ps )
Assertion
Ref Expression
lecasei  |-  ( ph  ->  ps )

Proof of Theorem lecasei
StepHypRef Expression
1 lecase.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ps )
2 lecase.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ps )
3 lecase.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 lecase.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letric 9163 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
63, 4, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
71, 2, 6mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8978    <_ cle 9110
This theorem is referenced by:  wloglei  9548  nn2ge  10014  max0sub  10771  leabs  12092  max0add  12103  limsupgre  12263  1arithlem4  13282  mndodcong  15168  metusttoOLD  18575  metustto  18576  reconn  18847  dyaddisj  19476  volcn  19486  ditgcl  19733  ditgswap  19734  ditgsplit  19736  dvfsumlem3  19900  ftc2ditg  19918  coseq0negpitopi  20399  asinlem3  20699  atanlogaddlem  20741  atanlogadd  20742  ppiub  20976  dchrisum0  21202  pntrmax  21246  padicabv  21312  ntrivcvgmul  25219  nacsfix  26703  acongrep  26982  hbt  27249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-pre-lttri 9053
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115
  Copyright terms: Public domain W3C validator