HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv12it 5898
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers.
Assertion
Ref Expression
lediv12it |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) <_ (B / C))
Proof of Theorem lediv12it
StepHypRef Expression
1 lemul12itOLD 5845 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ (((1 / D) e. RR /\ (1 / C) e. RR) /\ (0 <_ (1 / D) /\ (1 / D) <_ (1 / C)))) -> (A x. (1 / D)) <_ (B x. (1 / C)))
2 rerecclt 5805 . . . . . 6 |- ((D e. RR /\ D =/= 0) -> (1 / D) e. RR)
3 simplr 415 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> D e. RR)
4 gt0ne0t 5630 . . . . . . 7 |- ((D e. RR /\ 0 < D) -> D =/= 0)
5 0re 5452 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
6 ltletrt 5536 . . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 < C /\ C <_ D) -> 0 < D))
75, 6mp3an1 905 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 < C /\ C <_ D) -> 0 < D))
87imp 350 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 < D)
94, 3, 8sylanc 473 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> D =/= 0)
102, 3, 9sylanc 473 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (1 / D) e. RR)
11 gt0ne0t 5630 . . . . . . 7 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> C =/= 0)
12 rerecclt 5805 . . . . . . 7 |- ((C e. RR /\ C =/= 0) -> (1 / C) e. RR)
1311, 12syldan 469 . . . . . 6 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> (1 / C) e. RR)
1413ad2ant2r 411 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (1 / C) e. RR)
1510, 14jca 288 . . . 4 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> ((1 / D) e. RR /\ (1 / C) e. RR))
16 recgt0t 5863 . . . . . . 7 |- ((D e. RR /\ 0 < D) -> 0 < (1 / D))
1716, 3, 8sylanc 473 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 < (1 / D))
18 ltlet 5532 . . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ (1 / D) e. RR) -> (0 < (1 / D) -> 0 <_ (1 / D)))
195a1i 8 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 e. RR)
2018, 19, 10sylanc 473 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (0 < (1 / D) -> 0 <_ (1 / D)))
2117, 20mpd 26 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 <_ (1 / D))
22 simprr 417 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> C <_ D)
23 lerect 5887 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ 0 < C) /\ (D e. RR /\ 0 < D)) -> (C <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / C)))
24 id 59 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> (C e. RR /\ 0 < C))
2524ad2ant2r 411 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (C e. RR /\ 0 < C))
263, 8jca 288 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (D e. RR /\ 0 < D))
2723, 25, 26sylanc 473 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (C <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / C)))
2822, 27mpbid 195 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (1 / D) <_ (1 / C))
2921, 28jca 288 . . . 4 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (0 <_ (1 / D) /\ (1 / D) <_ (1 / C)))
3015, 29jca 288 . . 3 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (((1 / D) e. RR /\ (1 / C) e. RR) /\ (0 <_ (1 / D) /\ (1 / D) <_ (1 / C))))
311, 30sylan2 453 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A x. (1 / D)) <_ (B x. (1 / C)))
32 divrect 5746 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
33 recnt 5325 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
3433adantr 391 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> A e. CC)
35 recnt 5325 . . . . . . 7 |- (D e. RR -> D e. CC)
3635ad2antlr 407 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> D e. CC)
3736adantl 390 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> D e. CC)
389adantl 390 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> D =/= 0)
3932, 34, 37, 38syl3anc 860 . . . 4 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
4039adantlr 395 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
4140adantlr 395 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
42 divrect 5746 . . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
43 recnt 5325 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> B e. CC)
4443adantr 391 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> B e. CC)
45 recnt 5325 . . . . . . . 8 |- (C e. RR -> C e. CC)
4645ad2antrl 408 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> C e. CC)
4711adantl 390 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> C =/= 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 860 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
4948adantrrr 405 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5049adantrlr 403 . . . 4 |- ((B e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5150adantll 394 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5251adantlr 395 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5331, 41, 523brtr4d 2650 1 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) <_ (B / C))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   / cdiv 5306   <_ cle 5307   < clt 5498
This theorem is referenced by:  lediv2it 5899  efaddlem17 7354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn