HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv23t 5855
Description: Swap denominator with other side of 'less than or equal to'.
Assertion
Ref Expression
lediv23t |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> (A / C) <_ B))
Proof of Theorem lediv23t
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5606 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B =/= 0)
21adantll 392 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> B =/= 0)
3 redivclt 5770 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
433expa 832 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
52, 4syldan 467 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> (A / B) e. RR)
653adantl3 804 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> (A / B) e. RR)
7 3simp3 789 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> C e. RR)
87adantr 389 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> C e. RR)
9 3simp2 788 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> B e. RR)
109adantr 389 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> B e. RR)
116, 8, 103jca 818 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR))
12 lemul1t 5802 . . . 4 |- ((((A / B) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
1311, 12sylancom 475 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
1413adantrr 395 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
15 divcan1t 5703 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ A e. CC /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
16153com12 836 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
17163expa 832 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
18 recnt 5300 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
19 recnt 5300 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> B e. CC)
2018, 19anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A e. CC /\ B e. CC))
2117, 20sylan 448 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
222, 21syldan 467 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) x. B) = A)
23223adantl3 804 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) x. B) = A)
2423adantrr 395 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) x. B) = A)
2524breq1d 2626 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> (((A / B) x. B) <_ (C x. B) <-> A <_ (C x. B)))
26 lediv1t 5820 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ (C x. B) e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ ((C x. B) / C)))
27 3simp1 787 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> A e. RR)
28 axmulrcl 5261 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ B e. RR) -> (C x. B) e. RR)
2928ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (C x. B) e. RR)
30293adant1 796 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C x. B) e. RR)
3127, 30, 73jca 818 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A e. RR /\ (C x. B) e. RR /\ C e. RR))
3226, 31sylan 448 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ ((C x. B) / C)))
33 gt0ne0t 5606 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> C =/= 0)
3433adantll 392 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> C =/= 0)
35 divcan3t 5732 . . . . . . . . . . 11 |- ((C e. CC /\ B e. CC /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
3635, 19syl3an2 859 . . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ B e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
37 recnt 5300 . . . . . . . . . 10 |- (C e. RR -> C e. CC)
3836, 37syl3an1 858 . . . . . . . . 9 |- ((C e. RR /\ B e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
39383com12 836 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ C e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
40393expa 832 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
4134, 40syldan 467 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((C x. B) / C) = B)
42413adantl1 802 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((C x. B) / C) = B)
4342breq2d 2627 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((A / C) <_ ((C x. B) / C) <-> (A / C) <_ B))
4432, 43bitrd 527 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ B))
4544adantrl 394 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ B))
4614, 25, 453bitrd 543 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> (A / C) <_ B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1584   class class class wbr 2616  (class class class)co 3960  CCcc 5219  RRcr 5220  0cc0 5221   x. cmul 5226   / cdiv 5281   <_ cle 5282   < clt 5473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686
Copyright terms: Public domain