HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv2itALT 10327
Description: Division of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number.
Assertion
Ref Expression
lediv2itALT |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (A <_ B -> (C / B) <_ (C / A)))
Proof of Theorem lediv2itALT
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5602 . . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B =/= 0)
2 rerecclt 5769 . . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> (1 / B) e. RR)
31, 2syldan 467 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> (1 / B) e. RR)
4 gt0ne0t 5602 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
5 rerecclt 5769 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
64, 5syldan 467 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
73, 6anim12i 333 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> ((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR))
87ancoms 436 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> ((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR))
983adant3 798 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> ((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR))
10 3simp3 789 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (C e. RR /\ 0 <_ C))
119, 10jca 288 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)))
12 df-3an 776 . . . 4 |- (((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) <-> (((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)))
1311, 12sylibr 200 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> ((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)))
14 lemul2itALT 10326 . . 3 |- (((1 / B) e. RR /\ (1 / A) e. RR /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> ((1 / B) <_ (1 / A) -> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
1513, 14syl 10 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> ((1 / B) <_ (1 / A) -> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
16 lerect 5843 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
17163adant3 798 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
18 recnt 5296 . . . . . . . . 9 |- (C e. RR -> C e. CC)
1918adantr 389 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ 0 <_ C) -> C e. CC)
20 recnt 5296 . . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> B e. CC)
2120adantr 389 . . . . . . . . 9 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B e. CC)
2221, 1jca 288 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> (B e. CC /\ B =/= 0))
2319, 22anim12i 333 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (C e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)))
24 3anass 778 . . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) <-> (C e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)))
2523, 24sylibr 200 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (C e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0))
26 divrect 5712 . . . . . 6 |- ((C e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
2725, 26syl 10 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
2827ancoms 436 . . . 4 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
29283adant1 796 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (C / B) = (C x. (1 / B)))
30 recnt 5296 . . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> A e. CC)
3130adantr 389 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A e. CC)
3231, 4jca 288 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
3319, 32anim12i 333 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (C e. CC /\ (A e. CC /\ A =/= 0)))
34 3anass 778 . . . . . . 7 |- ((C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) <-> (C e. CC /\ (A e. CC /\ A =/= 0)))
3533, 34sylibr 200 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0))
36 divrect 5712 . . . . . 6 |- ((C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
3735, 36syl 10 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ 0 <_ C) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
3837ancoms 436 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
39383adant2 797 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (C / A) = (C x. (1 / A)))
4029, 39breq12d 2627 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> ((C / B) <_ (C / A) <-> (C x. (1 / B)) <_ (C x. (1 / A))))
4115, 17, 403imtr4d 542 1 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B) /\ (C e. RR /\ 0 <_ C)) -> (A <_ B -> (C / B) <_ (C / A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   x. cmul 5222   / cdiv 5277   <_ cle 5278   < clt 5469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682
Copyright terms: Public domain