Theorem lelttr 5677

Description: Transitive law.

Assertion

Ref	Expression
lelttr	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B < C) -> A < C))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 5672	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
2	1	3adant3 805	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
3		axlttrn 5658	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))
4	3	exp3a 374	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (B < C -> A < C)))
5		breq1 2695	. . . . . 6 |- (A = B -> (A < C <-> B < C))
6	5	biimprd 152	. . . . 5 |- (A = B -> (B < C -> A < C))
7	6	a1i 8	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A = B -> (B < C -> A < C)))
8	4, 7	jaod 424	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B \/ A = B) -> (B < C -> A < C)))
9	2, 8	sylbid 201	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A <_ B -> (B < C -> A < C)))
10	9	imp3a 359	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <_ B /\ B < C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994   class class class wbr 2692  RRcr 5387   <_ cle 5449   < clt 5640

This theorem is referenced by:  letr 5679  lelttrd 5681  lelttri 5740  letrp1 5956  ltmul12a 5985  ledivp1 6050  maxlt 6067  bndndx 6241  xrinfmsslem 6245  elnnz1 6323  zltp1le 6349  uzind 6376  flge 6431  expnlbnd2 6854  sqrlem12 6885  seq1ublem 7114  cvg2i 7125  caubndi 7129  caurei 7130  cauimi 7131  clm4lei 7284  2climnn 7305  2climnn0 7306  climaddlem3 7319  climmullem3 7325  climmullem4 7326  climmullem5 7327  climsqueeze 7343  climsqueeze2 7344  climabslem 7351  climcaui 7359  caucvgi 7366  serzf0i 7372  cvgcmp3ci 7390  reccnv 7422  cvgratlem4 7458  abscncflem 7479  ivthlem6 7491  ivthlem7 7492  infpn2 7721  metcnpi3 8103  metcnpi4 8104  metcni2 8106  iscau3 8149  iscau4 8151  lmuni 8162  lmle 8171  xplmi 8184  lmcau 8207  nmcnilem 8591  blocni 8720  minveclem25 8829  minveclem27 8831  pilem1 8938  hcau2 9331  occllem6 9454  projlem25 9486  projlem26 9487  osumlem4 9859  hmopidmchi 10359  staddi 10454  stadd3i 10456  blhalf 11911  metdcn 11918  iocopnst 11941  totbndbnd 12000  heiborlem16 12026  heiborlem32 12042  heiborlem35 12045  heiborlem36 12046  rrncms 12075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-ltp 5244  df-enr 5320  df-nr 5321  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-c 5394  df-r 5398  df-lt 5401  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645

Copyright terms: Public domain