MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12ad Unicode version

Theorem lemul12ad 9701
Description: The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
divgt0d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lemul1ad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltmul12ad.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lemul12ad.4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
lemul12ad.5  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
lemul12ad.6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lemul12ad.7  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
lemul12ad  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  D ) )

Proof of Theorem lemul12ad
StepHypRef Expression
1 lemul12ad.6 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lemul12ad.7 . 2  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
3 ltp1d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 lemul12ad.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
53, 4jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
6 divgt0d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 lemul1ad.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
8 lemul12ad.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
97, 8jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
10 ltmul12ad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
11 lemul12a 9616 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )
125, 6, 9, 10, 11syl22anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D
)  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )
131, 2, 12mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739    x. cmul 8744    <_ cle 8870
This theorem is referenced by:  supmullem1  9722  faclbnd  11305  o1mul  12090  dchrmusum2  20645  dchrvmasumlem3  20650  dchrisum0lem2a  20668  mudivsum  20681  mulogsumlem  20682  selberg2b  20703  selberg3lem2  20709  pntrlog2bndlem3  20730  pntrlog2bndlem4  20731  pntrlog2bnd  20735  smcnlem  21272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator