MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12ad Unicode version

Theorem lemul12ad 9695
Description: The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
divgt0d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lemul1ad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
ltmul12ad.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lemul12ad.4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
lemul12ad.5  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
lemul12ad.6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lemul12ad.7  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
lemul12ad  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  D ) )

Proof of Theorem lemul12ad
StepHypRef Expression
1 lemul12ad.6 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lemul12ad.7 . 2  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
3 ltp1d.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 lemul12ad.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
53, 4jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
6 divgt0d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 lemul1ad.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
8 lemul12ad.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
97, 8jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
10 ltmul12ad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
11 lemul12a 9610 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  D  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  C  <_  D )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )
125, 6, 9, 10, 11syl22anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  C  <_  D
)  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  D )
) )
131, 2, 12mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1685   class class class wbr 4024  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    x. cmul 8738    <_ cle 8864
This theorem is referenced by:  supmullem1  9716  faclbnd  11299  o1mul  12084  dchrmusum2  20639  dchrvmasumlem3  20644  dchrisum0lem2a  20662  mudivsum  20675  mulogsumlem  20676  selberg2b  20697  selberg3lem2  20703  pntrlog2bndlem3  20724  pntrlog2bndlem4  20725  pntrlog2bnd  20729  smcnlem  21264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator