Theorem leopaddt 10003

Description: The sum of two positive operators is positive. Exercise 1(i) of [Retherford] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
leopaddt	|- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (0hop <_op T /\ 0hop <_op U)) -> 0hop <_op (T +op U))

Proof of Theorem leopaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addge0t 5631	. . . . . . . . 9 |- (((((T` x) .ih x) e. RR /\ ((U` x) .ih x) e. RR) /\ (0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x))) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
2	1	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((((T` x) .ih x) e. RR /\ ((U` x) .ih x) e. RR) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
3		hmopret 9786	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ x e. H~) -> ((T` x) .ih x) e. RR)
4		hmopret 9786	. . . . . . . 8 |- ((U e. HrmOp /\ x e. H~) -> ((U` x) .ih x) e. RR)
5	2, 3, 4	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ x e. H~) /\ (U e. HrmOp /\ x e. H~)) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
6	5	anandirs 513	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
7		hosvaltOLD 9457	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((T +op U)` x) = ((T` x) +h (U` x)))
8	7	opreq1d 3966	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih x) = (((T` x) +h (U` x)) .ih x))
9		ax-his2 8889	. . . . . . . . . 10 |- (((T` x) e. H~ /\ (U` x) e. H~ /\ x e. H~) -> (((T` x) +h (U` x)) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
10		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
11	10	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
12		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ((U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (U` x) e. H~)
13	12	adantll 392	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (U` x) e. H~)
14		pm3.27 323	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> x e. H~)
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 857	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T` x) +h (U` x)) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
16	8, 15	eqtrd 1504	. . . . . . . 8 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
17		hmopft 9741	. . . . . . . . 9 |- (T e. HrmOp -> T:H~-->H~)
18		hmopft 9741	. . . . . . . . 9 |- (U e. HrmOp -> U:H~-->H~)
19	17, 18	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~))
20	16, 19	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih x) = (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x)))
21	20	breq2d 2625	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> (0 <_ (((T +op U)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((T` x) .ih x) + ((U` x) .ih x))))
22	6, 21	sylibrd 204	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ x e. H~) -> ((0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
23	22	r19.20dva 1706	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (A.x e. H~ (0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
24		r19.26 1747	. . . 4 |- (A.x e. H~ (0 <_ ((T` x) .ih x) /\ 0 <_ ((U` x) .ih x)) <-> (A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x)))
25	23, 24	syl5ibr 207	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x)) -> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
26		leoppost 9997	. . . 4 |- (T e. HrmOp -> (0hop <_op T <-> A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x)))
27		leoppost 9997	. . . 4 |- (U e. HrmOp -> (0hop <_op U <-> A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x)))
28	26, 27	bi2anan9 631	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((0hop <_op T /\ 0hop <_op U) <-> (A.x e. H~ 0 <_ ((T` x) .ih x) /\ A.x e. H~ 0 <_ ((U` x) .ih x))))
29		hmopst 9883	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T +op U) e. HrmOp)
30		leoppost 9997	. . . 4 |- ((T +op U) e. HrmOp -> (0hop <_op (T +op U) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
31	29, 30	syl 10	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (0hop <_op (T +op U) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((T +op U)` x) .ih x)))
32	25, 28, 31	3imtr4d 542	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((0hop <_op T /\ 0hop <_op U) -> 0hop <_op (T +op U)))
33	32	imp 350	1 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (0hop <_op T /\ 0hop <_op U)) -> 0hop <_op (T +op U))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   <_ cle 5275  H~chil 8727   +h cva 8728   .ih csp 8732   +op chos 8746  0_hopch0o 8751  HrmOpcho 8758   <_op cleo 8766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891  ax-hcompl 9010

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-ph 8416  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 9015  df-ch 9031  df-oc 9063  df-ch0 9064  df-pj 9175  df-hosum 9446  df-homul 9447  df-hodif 9448  df-h0op 9614  df-hmop 9710  df-leop 9718

Copyright terms: Public domain