Theorem leopg 9993

Description: Ordering relation for positive operators. Definition of positive operator ordering in [Kreyszig] p. 470.

Assertion

Ref	Expression
leopg	|- ((T e. A /\ U e. B) -> (T <_op U <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,T   x,U

Proof of Theorem leopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3960	. . . 4 |- (t = T -> (u -op t) = (u -op T))
2	1	eleq1d 1537	. . 3 |- (t = T -> ((u -op t) e. HrmOp <-> (u -op T) e. HrmOp))
3	1	fveq1d 3717	. . . . . 6 |- (t = T -> ((u -op t)` x) = ((u -op T)` x))
4	3	opreq1d 3966	. . . . 5 |- (t = T -> (((u -op t)` x) .ih x) = (((u -op T)` x) .ih x))
5	4	breq2d 2625	. . . 4 |- (t = T -> (0 <_ (((u -op t)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)))
6	5	ralbidv 1660	. . 3 |- (t = T -> (A.x e. H~ 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)))
7	2, 6	anbi12d 627	. 2 |- (t = T -> (((u -op t) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x)) <-> ((u -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x))))
8		opreq1 3959	. . . 4 |- (u = U -> (u -op T) = (U -op T))
9	8	eleq1d 1537	. . 3 |- (u = U -> ((u -op T) e. HrmOp <-> (U -op T) e. HrmOp))
10	8	fveq1d 3717	. . . . . 6 |- (u = U -> ((u -op T)` x) = ((U -op T)` x))
11	10	opreq1d 3966	. . . . 5 |- (u = U -> (((u -op T)` x) .ih x) = (((U -op T)` x) .ih x))
12	11	breq2d 2625	. . . 4 |- (u = U -> (0 <_ (((u -op T)` x) .ih x) <-> 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x)))
13	12	ralbidv 1660	. . 3 |- (u = U -> (A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x) <-> A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x)))
14	9, 13	anbi12d 627	. 2 |- (u = U -> (((u -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op T)` x) .ih x)) <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))
15		df-leop 9718	. 2 |- <_op = {<.t, u>. | ((u -op t) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((u -op t)` x) .ih x))}
16	7, 14, 15	brabg 2813	1 |- ((T e. A /\ U e. B) -> (T <_op U <-> ((U -op T) e. HrmOp /\ A.x e. H~ 0 <_ (((U -op T)` x) .ih x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  0cc0 5214   <_ cle 5275  H~chil 8727   .ih csp 8732   -op chod 8748  HrmOpcho 8758   <_op cleo 8766

This theorem is referenced by:  leopt 9994  leoprf2t 9998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193  df-opr 3956  df-leop 9718

Copyright terms: Public domain