HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmuli Unicode version

Theorem leopmuli 23593
Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmuli  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )

Proof of Theorem leopmuli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 23383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  x )  e.  RR )
2 mulge0 9505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( ( T `
 x )  .ih  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x ) ) )  ->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x )  .ih  x ) ) )
31, 2sylanr1 634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( T  e. 
HrmOp  /\  x  e.  ~H )  /\  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
43expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( 0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
54an4s 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
65anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
7 recn 9040 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
8 hmopf 23334 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
97, 8anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )
)
10 homval 23201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
11103expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A 
.op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `
 x ) ) )
1211oveq1d 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x )  =  ( ( A  .h  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
13 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  CC )
14 ffvelrn 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
1514adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
17 ax-his3 22543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( A  .h  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x )  .ih  x
) ) )
1813, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .h  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) )
1912, 18eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) )
209, 19sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
.op  T ) `  x )  .ih  x
)  =  ( A  x.  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
2120breq2d 4188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x )  <->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
2221adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( (
( A  .op  T
) `  x )  .ih  x )  <->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
236, 22sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( ( ( A 
.op  T ) `  x )  .ih  x
) ) )
2423ralimdva 2748 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  0  <_  A )  -> 
( A. x  e. 
~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )  ->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x ) ) )
2524expimpd 587 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  A. x  e. 
~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
)  ->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
26 leoppos 23586 . . . . 5  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( 0hop  <_op 
T  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
2726adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( 0hop  <_op  T  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
2827anbi2d 685 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )  <-> 
( 0  <_  A  /\  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) ) )
29 hmopm 23481 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  .op  T
)  e.  HrmOp )
30 leoppos 23586 . . . 4  |-  ( ( A  .op  T )  e.  HrmOp  ->  ( 0hop  <_op 
( A  .op  T
)  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x ) ) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( 0hop  <_op  ( A 
.op  T )  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
3225, 28, 313imtr4d 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) ) )
3332imp 419 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950    x. cmul 8955    <_ cle 9081   ~Hchil 22379    .h csm 22381    .ih csp 22382    .op chot 22399   0hopch0o 22403   HrmOpcho 22410    <_op cleo 22418
This theorem is referenced by:  leopmul  23594  leopmul2i  23595  opsqrlem1  23600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cc 8275  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544  ax-hcompl 22661
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-lm 17251  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cfil 19165  df-cau 19166  df-cmet 19167  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-subgo 21847  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-dip 22154  df-ssp 22178  df-ph 22271  df-cbn 22322  df-hnorm 22428  df-hba 22429  df-hvsub 22431  df-hlim 22432  df-hcau 22433  df-sh 22666  df-ch 22681  df-oc 22711  df-ch0 22712  df-shs 22767  df-pjh 22854  df-hosum 23190  df-homul 23191  df-hodif 23192  df-h0op 23208  df-hmop 23304  df-leop 23312
  Copyright terms: Public domain W3C validator