HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmuli Unicode version

Theorem leopmuli 23477
Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmuli  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )

Proof of Theorem leopmuli
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopre 23267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  x )  e.  RR )
2 mulge0 9470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( ( T `
 x )  .ih  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x ) ) )  ->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x )  .ih  x ) ) )
31, 2sylanr1 634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( T  e. 
HrmOp  /\  x  e.  ~H )  /\  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
43expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( 0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
54an4s 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
65anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
7 recn 9006 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
8 hmopf 23218 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
97, 8anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )
)
10 homval 23085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
11103expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A 
.op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `
 x ) ) )
1211oveq1d 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x )  =  ( ( A  .h  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
13 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  CC )
14 ffvelrn 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
1514adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
17 ax-his3 22427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( A  .h  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x )  .ih  x
) ) )
1813, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .h  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) )
1912, 18eqtrd 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) )
209, 19sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
.op  T ) `  x )  .ih  x
)  =  ( A  x.  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
2120breq2d 4158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x )  <->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
2221adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( (
( A  .op  T
) `  x )  .ih  x )  <->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
236, 22sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( ( ( A 
.op  T ) `  x )  .ih  x
) ) )
2423ralimdva 2720 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  0  <_  A )  -> 
( A. x  e. 
~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )  ->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x ) ) )
2524expimpd 587 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  A. x  e. 
~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
)  ->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
26 leoppos 23470 . . . . 5  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( 0hop  <_op 
T  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
2726adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( 0hop  <_op  T  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
2827anbi2d 685 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )  <-> 
( 0  <_  A  /\  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) ) )
29 hmopm 23365 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  .op  T
)  e.  HrmOp )
30 leoppos 23470 . . . 4  |-  ( ( A  .op  T )  e.  HrmOp  ->  ( 0hop  <_op 
( A  .op  T
)  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x ) ) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( 0hop  <_op  ( A 
.op  T )  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
3225, 28, 313imtr4d 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) ) )
3332imp 419 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   class class class wbr 4146   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    x. cmul 8921    <_ cle 9047   ~Hchil 22263    .h csm 22265    .ih csp 22266    .op chot 22283   0hopch0o 22287   HrmOpcho 22294    <_op cleo 22302
This theorem is referenced by:  leopmul  23478  leopmul2i  23479  opsqrlem1  23484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cc 8241  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996  ax-hilex 22343  ax-hfvadd 22344  ax-hvcom 22345  ax-hvass 22346  ax-hv0cl 22347  ax-hvaddid 22348  ax-hfvmul 22349  ax-hvmulid 22350  ax-hvmulass 22351  ax-hvdistr1 22352  ax-hvdistr2 22353  ax-hvmul0 22354  ax-hfi 22422  ax-his1 22425  ax-his2 22426  ax-his3 22427  ax-his4 22428  ax-hcompl 22545
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-lm 17208  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cfil 19072  df-cau 19073  df-cmet 19074  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-gdiv 21623  df-ablo 21711  df-subgo 21731  df-vc 21866  df-nv 21912  df-va 21915  df-ba 21916  df-sm 21917  df-0v 21918  df-vs 21919  df-nmcv 21920  df-ims 21921  df-dip 22038  df-ssp 22062  df-ph 22155  df-cbn 22206  df-hnorm 22312  df-hba 22313  df-hvsub 22315  df-hlim 22316  df-hcau 22317  df-sh 22550  df-ch 22565  df-oc 22595  df-ch0 22596  df-shs 22651  df-pjh 22738  df-hosum 23074  df-homul 23075  df-hodif 23076  df-h0op 23092  df-hmop 23188  df-leop 23196
  Copyright terms: Public domain W3C validator