Theorem leopmult 10058

Description: The scalar product of a positive real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
leopmult	|- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (0hop <_op T <-> 0hop <_op (A .op T)))

Proof of Theorem leopmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leopmulit 10057	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp) /\ (0 <_ A /\ 0hop <_op T)) -> 0hop <_op (A .op T))
2		3simpa 784	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (A e. RR /\ T e. HrmOp))
3	2	adantr 389	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op T) -> (A e. RR /\ T e. HrmOp))
4		0re 5427	. . . . . 6 |- 0 e. RR
5		ltlet 5507	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A -> 0 <_ A))
6	5	3impia 829	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ A e. RR /\ 0 < A) -> 0 <_ A)
7	4, 6	mp3an1 902	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 <_ A)
8	7	3adant2 797	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> 0 <_ A)
9	8	anim1i 334	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op T) -> (0 <_ A /\ 0hop <_op T))
10	1, 3, 9	sylanc 471	. 2 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op T) -> 0hop <_op (A .op T))
11		leopmulit 10057	. . . . 5 |- ((((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp) /\ (0 <_ (1 / A) /\ 0hop <_op (A .op T))) -> 0hop <_op ((1 / A) .op (A .op T)))
12	11	anassrs 441	. . . 4 |- (((((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp) /\ 0 <_ (1 / A)) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> 0hop <_op ((1 / A) .op (A .op T)))
13		gt0ne0t 5606	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
14		rerecclt 5773	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
15	13, 14	syldan 467	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
16	15	3adant2 797	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (1 / A) e. RR)
17		hmopmt 9937	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp) -> (A .op T) e. HrmOp)
18	17	3adant3 798	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (A .op T) e. HrmOp)
19	16, 18	jca 288	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> ((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp))
20		recgt0t 5829	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (1 / A))
21		ltlet 5507	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (1 / A) e. RR) -> (0 < (1 / A) -> 0 <_ (1 / A)))
22	4	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 e. RR)
23	21, 22, 15	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (0 < (1 / A) -> 0 <_ (1 / A)))
24	20, 23	mpd 26	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 <_ (1 / A))
25	24	3adant2 797	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> 0 <_ (1 / A))
26	19, 25	jca 288	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (((1 / A) e. RR /\ (A .op T) e. HrmOp) /\ 0 <_ (1 / A)))
27	12, 26	sylan 448	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> 0hop <_op ((1 / A) .op (A .op T)))
28		recid2t 5713	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((1 / A) x. A) = 1)
29		recnt 5300	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
30	29	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A e. CC)
31	28, 30, 13	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> ((1 / A) x. A) = 1)
32	31	opreq1d 3972	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (((1 / A) x. A) .op T) = (1 .op T))
33	32	3adant2 797	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (((1 / A) x. A) .op T) = (1 .op T))
34		homulasst 9719	. . . . . 6 |- (((1 / A) e. CC /\ A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (((1 / A) x. A) .op T) = ((1 / A) .op (A .op T)))
35		recclt 5698	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. CC)
36	35, 30, 13	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 / A) e. CC)
37	36	3adant2 797	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (1 / A) e. CC)
38	29	3ad2ant1 799	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> A e. CC)
39		hmopft 9792	. . . . . . 7 |- (T e. HrmOp -> T:H~-->H~)
40	39	3ad2ant2 800	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> T:H~-->H~)
41	34, 37, 38, 40	syl3anc 857	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (((1 / A) x. A) .op T) = ((1 / A) .op (A .op T)))
42		homulid2t 9717	. . . . . . 7 |- (T:H~-->H~ -> (1 .op T) = T)
43	39, 42	syl 10	. . . . . 6 |- (T e. HrmOp -> (1 .op T) = T)
44	43	3ad2ant2 800	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (1 .op T) = T)
45	33, 41, 44	3eqtr3d 1514	. . . 4 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> ((1 / A) .op (A .op T)) = T)
46	45	adantr 389	. . 3 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> ((1 / A) .op (A .op T)) = T)
47	27, 46	breqtrd 2636	. 2 |- (((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) /\ 0hop <_op (A .op T)) -> 0hop <_op T)
48	10, 47	impbida 518	1 |- ((A e. RR /\ T e. HrmOp /\ 0 < A) -> (0hop <_op T <-> 0hop <_op (A .op T)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1584   class class class wbr 2616  -->wf 3175  (class class class)co 3960  CCcc 5219  RRcr 5220  0cc0 5221  1c1 5222   x. cmul 5226   / cdiv 5281   <_ cle 5282   < clt 5473  H~chil 8772   .op chot 8792  0_hopch0o 8796  HrmOpcho 8803   <_op cleo 8811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936  ax-hcompl 9059

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-sum 6948  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-haus 7761  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8336  df-ph 8456  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-hlim 8825  df-hcau 8826  df-sh 9064  df-ch 9080  df-oc 9112  df-ch0 9113  df-pj 9225  df-hosum 9496  df-homul 9497  df-hodif 9498  df-h0op 9665  df-hmop 9761  df-leop 9769

Copyright terms: Public domain