HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lerect 5841
Description: The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'.
Assertion
Ref Expression
lerect |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
Proof of Theorem lerect
StepHypRef Expression
1 breq2 2618 . . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
21anbi1d 616 . . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B)))
3 breq1 2617 . . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A <_ B <-> if(A e. RR, A, 0) <_ B))
4 opreq2 3960 . . . . . . 7 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (1 / A) = (1 / if(A e. RR, A, 0)))
54breq2d 2625 . . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((1 / B) <_ (1 / A) <-> (1 / B) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0))))
63, 5bibi12d 628 . . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)) <-> (if(A e. RR, A, 0) <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0)))))
72, 6imbi12d 625 . . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((0 < A /\ 0 < B) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A))) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> (if(A e. RR, A, 0) <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0))))))
8 breq2 2618 . . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (0 < B <-> 0 < if(B e. RR, B, 0)))
98anbi2d 615 . . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0))))
10 breq2 2618 . . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) <_ B <-> if(A e. RR, A, 0) <_ if(B e. RR, B, 0)))
11 opreq2 3960 . . . . . . 7 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (1 / B) = (1 / if(B e. RR, B, 0)))
1211breq1d 2624 . . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((1 / B) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0)) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0))))
1310, 12bibi12d 628 . . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0))) <-> (if(A e. RR, A, 0) <_ if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0)))))
149, 13imbi12d 625 . . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> (if(A e. RR, A, 0) <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0)))) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) <_ if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0))))))
15 0re 5420 . . . . . 6 |- 0 e. RR
1615elimel 2390 . . . . 5 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
1715elimel 2390 . . . . 5 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
1816, 17lerec 5836 . . . 4 |- ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) <_ if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) <_ (1 / if(A e. RR, A, 0))))
197, 14, 18dedth2h 2383 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A))))
2019imp 350 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 < A /\ 0 < B)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
2120an4s 508 1 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A <_ B <-> (1 / B) <_ (1 / A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  ifcif 2357   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466
This theorem is referenced by:  lerec2t 5845  ledivdivt 5846  lediv2t 5847  lediv12it 5852  reccnv 7161  erelem3 7271  ef1tllem 7331  projlem26 9150  nmcopexlem5 9893  nmcfnexlem5 9922  lediv2itALT 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680
Copyright terms: Public domain