MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Unicode version

Theorem letri3 8903
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 8901 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 437 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 lenlt 8897 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 lenlt 8897 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 691 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A
)  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   RRcr 8732    < clt 8863    <_ cle 8864
This theorem is referenced by:  eqlelt  8905  letri3i  8930  letri3d  8957  lesub0  9286  eqord1  9297  lbreu  9700  nnle1eq1  9770  nn0le0eq0  9990  nn0lt10b  10074  zextle  10081  uz11  10246  uzin  10256  uzwo  10277  uzwoOLD  10278  qsqueeze  10524  elfz1eq  10803  faclbnd4lem4  11305  sqeqd  11647  max0add  11791  fsum00  12252  reef11  12395  dvdseq  12572  nn0seqcvgd  12736  infpnlem1  12953  psrbaglesupp  16110  gzrngunit  16433  nmoeq0  18241  oprpiece1res2  18446  pcoval2  18510  minveclem7  18795  pjthlem1  18797  iblposlem  19142  dvferm  19331  dveq0  19343  dv11cn  19344  fta1blem  19550  dgrco  19652  aalioulem3  19710  logf1o2  19993  cxpsqrlem  20045  ang180lem3  20105  chpeq0  20443  chteq0  20444  lgsdir  20565  lgsabs1  20569  minvecolem7  21456  pjhthlem1  21966  pjnormssi  22744  hstles  22807  stge1i  22814  stle0i  22815  stlesi  22817  cdj3lem1  23010  derangen  23110  bfplem2  25958  bfp  25959  acongeq  26481  jm2.26lem3  26505  dvconstbi  26962  ubelsupr  27102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869
  Copyright terms: Public domain W3C validator