MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem1 21107
Description: Lemma for lgsdir2 21112. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 9090 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 8re 10078 . . . . 5  |-  8  e.  RR
3 8pos 10090 . . . . 5  |-  0  <  8
42, 3elrpii 10615 . . . 4  |-  8  e.  RR+
5 0le1 9551 . . . 4  |-  0  <_  1
6 1lt8 10169 . . . 4  |-  1  <  8
7 modid 11270 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  8
) )  ->  (
1  mod  8 )  =  1 )
81, 4, 5, 6, 7mp4an 655 . . 3  |-  ( 1  mod  8 )  =  1
92recni 9102 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
109mulid2i 9093 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
1110oveq2i 6092 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 1  +  8 )
12 ax-1cn 9048 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312negcli 9368 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
149, 12negsubi 9378 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  ( 8  -  1 )
15 7nn 10138 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1615nncni 10010 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
1712, 16addcomi 9257 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
18 df-8 10064 . . . . . . . . . 10  |-  8  =  ( 7  +  1 )
1917, 18eqtr4i 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  7 )  =  8
209, 12, 16, 19subaddrii 9389 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  1 )  =  7
2114, 20eqtri 2456 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 1 )  =  7
229, 13, 21addcomli 9258 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  8 )  =  7
2311, 22eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( -u
1  +  ( 1  x.  8 ) )  =  7
2423oveq1i 6091 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 7  mod  8 )
251renegcli 9362 . . . . 5  |-  -u 1  e.  RR
26 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
27 modcyc 11276 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 ) )
2825, 4, 26, 27mp3an 1279 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 1  mod  8 )
29 7re 10077 . . . . 5  |-  7  e.  RR
30 0re 9091 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 7pos 10089 . . . . . 6  |-  0  <  7
3230, 29, 31ltleii 9196 . . . . 5  |-  0  <_  7
33 7lt8 10163 . . . . 5  |-  7  <  8
34 modid 11270 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  7  /\  7  <  8
) )  ->  (
7  mod  8 )  =  7 )
3529, 4, 32, 33, 34mp4an 655 . . . 4  |-  ( 7  mod  8 )  =  7
3624, 28, 353eqtr3i 2464 . . 3  |-  ( -u
1  mod  8 )  =  7
378, 36pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( 1  mod  8 )  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )
38 3re 10071 . . . 4  |-  3  e.  RR
39 3pos 10084 . . . . 5  |-  0  <  3
4030, 38, 39ltleii 9196 . . . 4  |-  0  <_  3
41 3lt8 10167 . . . 4  |-  3  <  8
42 modid 11270 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  3  /\  3  <  8
) )  ->  (
3  mod  8 )  =  3 )
4338, 4, 40, 41, 42mp4an 655 . . 3  |-  ( 3  mod  8 )  =  3
4410oveq2i 6092 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  ( -u 3  +  8 )
45 3cn 10072 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4645negcli 9368 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  CC
479, 45negsubi 9378 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  ( 8  -  3 )
48 5nn 10136 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN
4948nncni 10010 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
50 5p3e8 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  +  3 )  =  8
5149, 45, 50addcomli 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  5 )  =  8
529, 45, 49, 51subaddrii 9389 . . . . . . . 8  |-  ( 8  -  3 )  =  5
5347, 52eqtri 2456 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  -u 3 )  =  5
549, 46, 53addcomli 9258 . . . . . 6  |-  ( -u
3  +  8 )  =  5
5544, 54eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( -u
3  +  ( 1  x.  8 ) )  =  5
5655oveq1i 6091 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( 5  mod  8 )
5738renegcli 9362 . . . . 5  |-  -u 3  e.  RR
58 modcyc 11276 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  RR  /\  8  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 ) )
5957, 4, 26, 58mp3an 1279 . . . 4  |-  ( (
-u 3  +  ( 1  x.  8 ) )  mod  8 )  =  ( -u 3  mod  8 )
60 5re 10075 . . . . 5  |-  5  e.  RR
61 5pos 10087 . . . . . 6  |-  0  <  5
6230, 60, 61ltleii 9196 . . . . 5  |-  0  <_  5
63 5lt8 10165 . . . . 5  |-  5  <  8
64 modid 11270 . . . . 5  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  8  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  8
) )  ->  (
5  mod  8 )  =  5 )
6560, 4, 62, 63, 64mp4an 655 . . . 4  |-  ( 5  mod  8 )  =  5
6656, 59, 653eqtr3i 2464 . . 3  |-  ( -u
3  mod  8 )  =  5
6743, 66pm3.2i 442 . 2  |-  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 )
6837, 67pm3.2i 442 1  |-  ( ( ( 1  mod  8
)  =  1  /\  ( -u 1  mod  8 )  =  7 )  /\  ( ( 3  mod  8 )  =  3  /\  ( -u 3  mod  8 )  =  5 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   3c3 10050   5c5 10052   7c7 10054   8c8 10055   ZZcz 10282   RR+crp 10612    mod cmo 11250
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  21110  lgsdir2lem5  21111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251
  Copyright terms: Public domain W3C validator