MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad Unicode version

Theorem lgsquad 20590
Description: The Law of Quadratic Reciprocity. If  P and  Q are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols  ( P  / L Q ) and  ( Q  / L P ) is the parity of  ( ( P  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( Q  - 
1 )  /  2
). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsquad  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem lgsquad
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . 2  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 simp2 958 . 2  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 simp3 959 . 2  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  =/=  Q )
4 eqid 2284 . 2  |-  ( ( P  -  1 )  /  2 )  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
5 eqid 2284 . 2  |-  ( ( Q  -  1 )  /  2 )  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
6 eleq1 2344 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
7 eleq1 2344 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) )  <->  w  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) ) )
86, 7bi2anan9 845 . . . 4  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  <->  ( z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  w  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
9 oveq1 5826 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
y  x.  P )  =  ( w  x.  P ) )
10 oveq1 5826 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  Q )  =  ( z  x.  Q ) )
119, 10breqan12rd 4040 . . . 4  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q )  <-> 
( w  x.  P
)  <  ( z  x.  Q ) ) )
128, 11anbi12d 693 . . 3  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  <->  ( (
z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  w  e.  ( 1 ... ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) ) )  /\  ( w  x.  P )  <  (
z  x.  Q ) ) ) )
1312cbvopabv 4089 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( ( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) }  =  { <. z ,  w >.  |  ( ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  /\  w  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
w  x.  P )  <  ( z  x.  Q ) ) }
141, 2, 3, 4, 5, 13lgsquadlem3 20589 1  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447    \ cdif 3150   {csn 3641   class class class wbr 4024   {copab 4077  (class class class)co 5819   1c1 8733    x. cmul 8737    < clt 8862    - cmin 9032   -ucneg 9033    / cdiv 9418   2c2 9790   ...cfz 10776   ^cexp 11098   Primecprime 12752    / Lclgs 20527
This theorem is referenced by:  lgsquad2  20593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-prm 12753  df-phi 12828  df-pc 12884  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-imas 13405  df-divs 13406  df-mnd 14361  df-mhm 14409  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-mulg 14486  df-subg 14612  df-nsg 14613  df-eqg 14614  df-ghm 14675  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-cring 15335  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-rnghom 15490  df-drng 15508  df-field 15509  df-subrg 15537  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-sra 15919  df-rgmod 15920  df-lidl 15921  df-rsp 15922  df-2idl 15978  df-nzr 16004  df-rlreg 16018  df-domn 16019  df-idom 16020  df-cnfld 16372  df-zrh 16449  df-zn 16452  df-lgs 20528
  Copyright terms: Public domain W3C validator