MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquad Unicode version

Theorem lgsquad 20428
Description: The Law of Quadratic Reciprocity. If  P and  Q are distinct odd primes, then the product of the Legendre symbols  ( P  / L Q ) and  ( Q  / L P ) is the parity of  ( ( P  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( Q  - 
1 )  /  2
). This uses Eisenstein's proof, which also has a nice geometric interpretation - see https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsquad  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad
StepHypRef Expression
1 simp1 960 . 2  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 simp2 961 . 2  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 simp3 962 . 2  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  =/=  Q )
4 eqid 2253 . 2  |-  ( ( P  -  1 )  /  2 )  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
5 eqid 2253 . 2  |-  ( ( Q  -  1 )  /  2 )  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
6 eleq1 2313 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
7 eleq1 2313 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) )  <->  w  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) ) )
86, 7bi2anan9 848 . . . 4  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  <->  ( z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  w  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
9 oveq1 5717 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
y  x.  P )  =  ( w  x.  P ) )
10 oveq1 5717 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  Q )  =  ( z  x.  Q ) )
119, 10breqan12rd 3936 . . . 4  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q )  <-> 
( w  x.  P
)  <  ( z  x.  Q ) ) )
128, 11anbi12d 694 . . 3  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  /\  y  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  <->  ( (
z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  w  e.  ( 1 ... ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) ) )  /\  ( w  x.  P )  <  (
z  x.  Q ) ) ) )
1312cbvopabv 3985 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( ( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) }  =  { <. z ,  w >.  |  ( ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  /\  w  e.  ( 1 ... (
( Q  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
w  x.  P )  <  ( z  x.  Q ) ) }
141, 2, 3, 4, 5, 13lgsquadlem3 20427 1  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( Q  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    \ cdif 3075   {csn 3544   class class class wbr 3920   {copab 3973  (class class class)co 5710   1c1 8618    x. cmul 8622    < clt 8747    - cmin 8917   -ucneg 8918    / cdiv 9303   2c2 9675   ...cfz 10660   ^cexp 10982   Primecprime 12632    / Lclgs 20365
This theorem is referenced by:  lgsquad2  20431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-imas 13285  df-divs 13286  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-field 15350  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-nzr 15842  df-rlreg 15856  df-domn 15857  df-idom 15858  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-lgs 20366
  Copyright terms: Public domain W3C validator