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Theorem lhe4.4ex1a 26957
Description: Example of the Fundamental Theorem of Calculus, part two (ftc2 19387):  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x  =  -u ( 2  /  3
). Section 4.4 example 1a of [LarsonHostetlerEdwards] p. 311. (The book teaches ftc2 19387 as simply the "Fundamental Theorem of Calculus", then ftc1 19385 as the "Second Fundamental Theorem of Calculus".) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Oct-2015.) (Revised by Steve Rodriguez, 31-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
lhe4.4ex1a  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )

Proof of Theorem lhe4.4ex1a
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8833 . . . . 5  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
3 2re 9811 . . . . 5  |-  2  e.  RR
43a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
5 1lt2 9882 . . . . . 6  |-  1  <  2
61, 3, 5ltleii 8937 . . . . 5  |-  1  <_  2
76a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  <_  2 )
8 reex 8824 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
98prid1 3735 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
109a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
11 recn 8823 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
12 3nn0 9979 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
13 expcl 11117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( y ^ 3 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
1511, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
16 3cn 9814 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
17 3ne0 9827 . . . . . . . . . 10  |-  3  =/=  0
18 divcl 9426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
1916, 17, 18mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
2015, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
21 mulcl 8817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 3  x.  y
)  e.  CC )
2216, 11, 21sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
2320, 22subcld 9153 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
2423adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  e.  CC )
25 ovex 5845 . . . . . . 7  |-  ( ( y ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
2625a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
2720adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  e.  CC )
28 ovex 5845 . . . . . . . 8  |-  ( y ^ 2 )  e. 
_V
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 2 )  e.  _V )
30 divrec2 9437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3116, 17, 30mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3215, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3332mpteq2ia 4103 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) )
3433oveq2i 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  / 
3 )  x.  (
y ^ 3 ) ) ) )
3515adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
y ^ 3 )  e.  CC )
36 ovex 5845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
3736a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  _V )
38 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )
3938, 14fmpti 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC
40 ssid 3198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
41 ax-resscn 8790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
42 3nn 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  NN
43 dvexp 19298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) ) )
4442, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ (
3  -  1 ) ) ) )
45 ax-1cn 8791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
46 2cn 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
47 2p1e3 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4846, 45, 47addcomli 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  +  2 )  =  3
4916, 45, 46, 48subaddrii 9131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5049oveq2i 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y ^ ( 3  -  1 ) )  =  ( y ^ 2 )
5150oveq2i 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) )  =  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )
5251mpteq2i 4104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
( 3  -  1 ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5344, 52eqtri 2304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
5436, 53dmmpti 5339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  CC
5541, 54sseqtr4i 3212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )
56 dvres3 19259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^
3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR ) )
579, 39, 40, 55, 56mp4an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )
58 resmpt 4999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )
5941, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) )
6059oveq2i 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) )  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )
6153reseq1i 4950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  |`  RR )
62 resmpt 4999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
6341, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
6461, 63eqtri 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ 3 ) ) )  |`  RR )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
6557, 60, 643eqtr3i 2312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) )
6665a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y ^ 3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )
6745, 16, 17divcli 9498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
6867a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 1  /  3
)  e.  CC )
6910, 35, 37, 66, 68dvmptcmul 19309 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) ) ) )
7069trud 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( y ^ 3 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
71 sqcl 11162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
72 mulcl 8817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( y ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
7316, 71, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
74 divrec2 9437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
7516, 17, 74mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  x.  ( y ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
7611, 73, 753syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  (
y ^ 2 ) ) ) )
77 divcan3 9444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7816, 17, 77mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
7911, 71, 783syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 3  x.  (
y ^ 2 ) )  /  3 )  =  ( y ^
2 ) )
8076, 79eqtr3d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 1  /  3
)  x.  ( 3  x.  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y ^
2 ) )
8180mpteq2ia 4103 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( 1  /  3 )  x.  ( 3  x.  ( y ^ 2 ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
8234, 70, 813eqtri 2308 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  / 
3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^
2 ) )
8382a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 3 )  /  3 ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y ^ 2 ) ) )
8422adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  (
3  x.  y )  e.  CC )
8516elexi 2798 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
8685a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  3  e.  _V )
8711adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
881a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
8910dvmptid 19302 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
9016a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  3  e.  CC )
9110, 87, 88, 89, 90dvmptcmul 19309 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) ) )
9216mulid1i 8835 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
9392mpteq2i 4104 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 3  x.  1 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 )
9491, 93syl6eq 2332 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  3 ) )
9510, 27, 29, 83, 84, 86, 94dvmptsub 19312 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
96 iccssre 10727 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
971, 3, 96mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  RR
9897a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 1 [,] 2
)  C_  RR )
99 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
10099tgioo2 18305 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
101 iccntr 18322 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
1021, 3, 101mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 1 [,] 2
) )  =  ( 1 (,) 2 )
103102a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( 1 (,) 2
) )
10410, 24, 26, 95, 98, 100, 99, 103dvmptres2 19307 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
105 ioossicc 10731 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  C_  ( 1 [,] 2
)
106 resmpt 4999 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )
107105, 106ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
10897, 41sstri 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,] 2 )  C_  CC
109 resmpt 4999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )
110108, 109ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
111 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
112 subcl 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( y ^
2 )  -  3 )  e.  CC )
11316, 112mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
11471, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  CC )
115111, 114fmpti 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC
11640, 115, 403pm3.2i 1130 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )
117 ovex 5845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 )  e. 
_V
118 cnex 8814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
119118prid2 3736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
120119a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
12171adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ 2 )  e.  CC )
122 ovex 5845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  e. 
_V
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) )  e.  _V )
124 2nn 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
125 dvexp 19298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ (
2  -  1 ) ) ) )
127126a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( y ^ ( 2  -  1 ) ) ) ) )
12816a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
129 c0ex 8828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
130129a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
131120, 90dvmptc 19303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  3 ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
132120, 121, 123, 127, 128, 130, 131dvmptsub 19312 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
y ^ ( 2  -  1 ) ) )  -  0 ) ) )
133132trud 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( y ^
( 2  -  1 ) ) )  - 
0 ) )
134117, 133dmmpti 5339 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC
135 dvcn 19266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) ) : CC --> CC  /\  CC  C_  CC )  /\  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) ) )  =  CC )  -> 
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
136116, 134, 135mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
137 rescncf 18397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  CC  |->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
138108, 136, 137mp2 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
139110, 138eqeltrri 2355 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
140 rescncf 18397 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 (,) 2 ) 
C_  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  |`  (
1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 )
-cn-> CC ) ) )
141105, 139, 140mp2 17 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  |`  ( 1 (,) 2 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
142107, 141eqeltrri 2355 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 (,) 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 (,) 2 ) -cn-> CC )
143104, 142syl6eqel 2372 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  ( ( 1 (,) 2
) -cn-> CC ) )
144105a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 1 (,) 2
)  C_  ( 1 [,] 2 ) )
145 ioombl 18918 . . . . . . 7  |-  ( 1 (,) 2 )  e. 
dom  vol
146145a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 1 (,) 2
)  e.  dom  vol )
14725a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( 1 [,] 2
) )  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  e.  _V )
148 cniccibl 19191 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L ^1 )
1491, 3, 139, 148mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( y ^ 2 )  -  3 ) )  e.  L ^1
150149a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L ^1 )
151144, 146, 147, 150iblss 19155 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 (,) 2 ) 
|->  ( ( y ^
2 )  -  3 ) )  e.  L ^1 )
152104, 151eqeltrd 2358 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) )  e.  L ^1 )
153 resmpt 4999 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )
15497, 153ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
155 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
156155, 23fmpti 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC
157 ssid 3198 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
15841, 156, 1573pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )
15995trud 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
16025, 159dmmpti 5339 . . . . . . . 8  |-  dom  ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR
161 dvcn 19266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) : RR --> CC  /\  RR  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  RR )  -> 
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC ) )
162158, 160, 161mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR -cn-> CC )
163 rescncf 18397 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,] 2 ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( RR
-cn-> CC )  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  |`  (
1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 )
-cn-> CC ) ) )
16497, 162, 163mp2 17 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) )  |`  ( 1 [,] 2 ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
165154, 164eqeltrri 2355 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2 ) -cn-> CC )
166165a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) )  e.  ( ( 1 [,] 2
) -cn-> CC ) )
1672, 4, 7, 143, 152, 166ftc2 19387 . . 3  |-  (  T. 
->  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ` 
2 )  -  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
) ) )
168167trud 1314 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) ) `
 1 ) )
169 itgeq2 19128 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  ->  S. ( 1 (,) 2
) ( ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x )
170 oveq1 5827 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
171170oveq1d 5835 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y ^ 2 )  -  3 )  =  ( ( x ^ 2 )  - 
3 ) )
172104trud 1314 . . . 4  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 (,) 2
)  |->  ( ( y ^ 2 )  - 
3 ) )
173 ovex 5845 . . . 4  |-  ( ( x ^ 2 )  -  3 )  e. 
_V
174171, 172, 173fvmpt 5564 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
( RR  _D  (
y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) ) `  x
)  =  ( ( x ^ 2 )  -  3 ) )
175169, 174mprg 2613 . 2  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^ 2 )  -  3 )  _d x
1763leidi 9303 . . . . . . . . 9  |-  2  <_  2
1771, 3elicc2i 10712 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  2  <_ 
2 ) )
1783, 6, 176, 177mpbir3an 1134 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ( 1 [,] 2
)
179 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  2  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 2 ^ 3 ) )
180179oveq1d 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 2 ^ 3 )  / 
3 ) )
181 oveq2 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  2  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  2 ) )
182180, 181oveq12d 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) )
183 cu2 11197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
184183oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
185 3t2e6 9868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
186184, 185oveq12i 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 8  / 
3 )  -  6 )
187 6nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  NN
188187nncni 9752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  CC
18946, 188, 16, 17divdiri 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  ( 6  /  3 ) )
190 6p2e8 9860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  +  2 )  =  8
191188, 46, 190addcomli 9000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  6 )  =  8
192191oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  +  6 )  /  3 )  =  ( 8  /  3
)
193188, 16, 46, 17divmuli 9510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
194185, 193mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 6  /  3 )  =  2
195194oveq2i 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  3 )  +  ( 6  / 
3 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
196189, 192, 1953eqtr3i 2312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  +  2 )
197196oveq1i 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
19846, 16, 17divcli 9498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
199 subsub3 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  /  3
)  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  - 
6 ) )
200198, 188, 46, 199mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  +  2 )  -  6 )
201197, 200eqtr4i 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  /  3 )  -  6 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
6  -  2 ) )
202 4cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
203 4p2e6 9853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  +  2 )  =  6
204202, 46, 203addcomli 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  +  4 )  =  6
205188, 46, 202, 204subaddrii 9131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  -  2 )  =  4
206205oveq2i 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 6  -  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
207186, 201, 2063eqtri 2308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  4 )
208182, 207syl6eq 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  2  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 ) )
209 eqid 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 [,] 2
)  |->  ( ( ( y ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  y
) ) )
210 ovex 5845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  /  3 )  -  4 )  e. 
_V
211208, 209, 210fvmpt 5564 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  =  ( ( 2  /  3 )  -  4 ) )
212178, 211ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  2 )  =  ( ( 2  /  3 )  - 
4 )
2131leidi 9303 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2141, 3elicc2i 10712 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  <->  ( 1  e.  RR  /\  1  <_  1  /\  1  <_ 
2 ) )
2151, 213, 6, 214mpbir3an 1134 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( 1 [,] 2
)
216 oveq1 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 3 )  =  ( 1 ^ 3 ) )
217216oveq1d 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
( y ^ 3 )  /  3 )  =  ( ( 1 ^ 3 )  / 
3 ) )
218 oveq2 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  (
3  x.  y )  =  ( 3  x.  1 ) )
219217, 218oveq12d 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) ) )
22042nnzi 10043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ZZ
221 1exp 11127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
1 ^ 3 )  =  1 )
222220, 221ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 3 )  =  1
223222oveq1i 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
224223, 92oveq12i 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ^ 3 )  /  3 )  -  ( 3  x.  1 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  3 )
225219, 224syl6eq 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
226 ovex 5845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  3 )  -  3 )  e. 
_V
227225, 209, 226fvmpt 5564 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( 1 [,] 2 )  ->  (
( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  1
)  =  ( ( 1  /  3 )  -  3 ) )
228215, 227ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 )  =  ( ( 1  /  3 )  - 
3 )
229212, 228oveq12i 5832 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )
230 sub4 9088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  / 
3 )  e.  CC  /\  4  e.  CC )  /\  ( ( 1  /  3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 2  /  3 )  - 
4 )  -  (
( 1  /  3
)  -  3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) ) )
231198, 202, 67, 16, 230mp4an 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  4 )  -  ( ( 1  /  3 )  - 
3 ) )  =  ( ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  /  3
) )  -  (
4  -  3 ) )
23216, 17pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
233 divsubdir 9452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  -  1 )  / 
3 )  =  ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) ) )
23446, 45, 232, 233mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( ( 2  / 
3 )  -  (
1  /  3 ) )
235 1p1e2 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
23646, 45, 45, 235subaddrii 9131 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  1 )  =  1
237236oveq1i 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  -  1 )  /  3 )  =  ( 1  /  3
)
238234, 237eqtr3i 2306 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  3 )  -  ( 1  / 
3 ) )  =  ( 1  /  3
)
239 3p1e4 9844 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
240202, 16, 45, 239subaddrii 9131 . . . . . . 7  |-  ( 4  -  3 )  =  1
241238, 240oveq12i 5832 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  /  3
)  -  ( 1  /  3 ) )  -  ( 4  -  3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
242229, 231, 2413eqtri 2308 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  1 )
24316, 17dividi 9489 . . . . . 6  |-  ( 3  /  3 )  =  1
244243oveq2i 5831 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  1 )
245242, 244eqtr4i 2307 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  /  3 )  -  ( 3  / 
3 ) )
246 divsubdir 9452 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )  =  ( ( 1  /  3
)  -  ( 3  /  3 ) ) )
24745, 16, 232, 246mp3an 1277 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( ( 1  / 
3 )  -  (
3  /  3 ) )
248245, 247eqtr4i 2307 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  ( ( 1  -  3 )  /  3 )
249 divneg 9451 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 ) )
25046, 16, 17, 249mp3an 1277 . . . 4  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( -u 2  /  3 )
25116, 45negsubdi2i 9128 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  ( 1  -  3 )
25249negeqi 9041 . . . . . 6  |-  -u (
3  -  1 )  =  -u 2
253251, 252eqtr3i 2306 . . . . 5  |-  ( 1  -  3 )  = 
-u 2
254253oveq1i 5830 . . . 4  |-  ( ( 1  -  3 )  /  3 )  =  ( -u 2  / 
3 )
255250, 254eqtr4i 2307 . . 3  |-  -u (
2  /  3 )  =  ( ( 1  -  3 )  / 
3 )
256248, 255eqtr4i 2307 . 2  |-  ( ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 ) 
|->  ( ( ( y ^ 3 )  / 
3 )  -  (
3  x.  y ) ) ) `  2
)  -  ( ( y  e.  ( 1 [,] 2 )  |->  ( ( ( y ^
3 )  /  3
)  -  ( 3  x.  y ) ) ) `  1 ) )  =  -u (
2  /  3 )
257168, 175, 2563eqtr3i 2312 1  |-  S. ( 1 (,) 2 ) ( ( x ^
2 )  -  3 )  _d x  = 
-u ( 2  / 
3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   {cpr 3642   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    dom cdm 4688   ran crn 4689    |` cres 4690   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    <_ cle 8864    - cmin 9033   -ucneg 9034    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   3c3 9792   4c4 9793   6c6 9795   8c8 9797   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   (,)cioo 10652   [,]cicc 10655   ^cexp 11100   TopOpenctopn 13322   topGenctg 13338  ℂfldccnfld 16373   intcnt 16750   -cn->ccncf 18376   volcvol 18819   L ^1cibl 18968   S.citg 18969    _D cdv 19209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-ofr 6041  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-acn 7571  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-cmp 17110  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-ovol 18820  df-vol 18821  df-mbf 18971  df-itg1 18972  df-itg2 18973  df-ibl 18974  df-itg 18975  df-0p 19021  df-limc 19212  df-dv 19213
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