Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpbase Unicode version

Theorem lhpbase 30112
Description: A co-atom is a member of the lattice base set (i.e. a lattice element). (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpbase  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )

Proof of Theorem lhpbase
StepHypRef Expression
1 n0i 3576 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  -.  H  =  (/) )
2 lhpbase.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32eqeq1i 2394 . . . 4  |-  ( H  =  (/)  <->  ( LHyp `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 296 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  -.  ( LHyp `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5662 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LHyp `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 121 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  K  e.  _V )
7 lhpbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2387 . . . 4  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
9 eqid 2387 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
107, 8, 9, 2islhp 30110 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( W  e.  H  <->  ( W  e.  B  /\  W ( 
<o  `  K ) ( 1. `  K ) ) ) )
1110simprbda 607 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  B )
126, 11mpancom 651 1  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   class class class wbr 4153   ` cfv 5394   Basecbs 13396   1.cp1 14394    <o ccvr 29377   LHypclh 30098
This theorem is referenced by:  lhplt  30114  lhp2lt  30115  lhpexlt  30116  lhp0lt  30117  lhpexle  30119  lhpexnle  30120  lhpexle1  30122  lhpexle2lem  30123  lhpexle3lem  30125  lhpocnle  30130  lhpocat  30131  lhpjat1  30134  lhpjat2  30135  lhpj1  30136  lhpmcvr  30137  lhpmcvr2  30138  lhpmcvr3  30139  lhpmcvr4N  30140  lhpmcvr5N  30141  lhpmcvr6N  30142  lhpm0atN  30143  lhpmat  30144  lhpmatb  30145  lhp2at0  30146  lhpelim  30151  lhpmod2i2  30152  lhpmod6i1  30153  cdlemb2  30155  lhpat  30157  lhpat3  30160  4atexlemwb  30173  ltrnatb  30251  ltrnel  30253  ltrncnvel  30256  ltrnmw  30265  trlval2  30277  trlcl  30278  trljat1  30280  trljat2  30281  trlle  30298  trlval3  30301  cdlemc1  30305  cdlemc2  30306  cdlemc4  30308  cdlemc5  30309  cdlemc6  30310  cdlemd2  30313  cdleme0aa  30324  cdleme0b  30326  cdleme0c  30327  cdleme0cp  30328  cdleme0cq  30329  cdleme0e  30331  cdleme0fN  30332  cdlemeulpq  30334  cdleme01N  30335  cdleme0ex1N  30337  cdleme1b  30340  cdleme1  30341  cdleme2  30342  cdleme3b  30343  cdleme3c  30344  cdleme3g  30348  cdleme3h  30349  cdleme3  30351  cdleme4  30352  cdleme4a  30353  cdleme5  30354  cdleme7aa  30356  cdleme7c  30359  cdleme7d  30360  cdleme7e  30361  cdleme7ga  30362  cdleme7  30363  cdleme8  30364  cdleme9b  30366  cdleme9  30367  cdleme10  30368  cdleme11fN  30378  cdleme11g  30379  cdleme11k  30382  cdleme13  30386  cdleme15b  30389  cdleme15d  30391  cdleme15  30392  cdleme16e  30396  cdleme16f  30397  cdleme22gb  30408  cdlemedb  30411  cdlemednpq  30413  cdleme19b  30418  cdleme19c  30419  cdleme20aN  30423  cdleme20c  30425  cdleme20d  30426  cdleme20e  30427  cdleme20j  30432  cdleme21c  30441  cdleme21ct  30443  cdleme22aa  30453  cdleme22cN  30456  cdleme22d  30457  cdleme22e  30458  cdleme22eALTN  30459  cdleme22f  30460  cdleme22g  30462  cdleme23a  30463  cdleme23b  30464  cdleme23c  30465  cdleme28a  30484  cdleme28b  30485  cdleme29ex  30488  cdleme30a  30492  cdlemefr29exN  30516  cdleme32b  30556  cdleme32c  30557  cdleme32e  30559  cdleme35b  30564  cdleme35c  30565  cdleme35d  30566  cdleme35e  30567  cdleme35f  30568  cdleme42a  30585  cdleme42c  30586  cdleme42h  30596  cdleme42i  30597  cdleme48bw  30616  cdlemeg46frv  30639  cdlemeg46vrg  30641  cdlemeg46rgv  30642  cdlemeg46req  30643  cdlemf1  30675  cdlemf2  30676  trlord  30683  cdlemg2fv2  30714  cdlemg2m  30718  cdlemg7fvbwN  30721  cdlemg4  30731  cdlemg6c  30734  cdlemg10bALTN  30750  cdlemg10c  30753  cdlemg10  30755  cdlemg11b  30756  cdlemg12f  30762  cdlemg17a  30775  cdlemg17dALTN  30778  cdlemg19a  30797  cdlemg35  30827  trlcoabs2N  30836  trlcolem  30840  cdlemh2  30930  cdlemi1  30932  cdlemk3  30947  cdlemk4  30948  cdlemk9  30953  cdlemk9bN  30954  cdlemk10  30957  cdlemk39  31030  dia0eldmN  31155  dia1eldmN  31156  dia0  31167  dia1N  31168  diaglbN  31170  diaintclN  31173  dia2dimlem1  31179  dia2dimlem2  31180  dia2dimlem3  31181  dia2dimlem10  31188  dia2dimlem12  31190  cdlemm10N  31233  docaclN  31239  doca2N  31241  djajN  31252  dib0  31279  dibglbN  31281  dibintclN  31282  cdlemn2  31310  cdlemn10  31321  dihjustlem  31331  dihord1  31333  dihord2a  31334  dihord2b  31335  dihord2cN  31336  dihord11b  31337  dihord11c  31339  dihord2pre  31340  dihord2pre2  31341  dihlsscpre  31349  dib2dim  31358  dih2dimb  31359  dih2dimbALTN  31360  dihvalcq2  31362  dihopelvalcpre  31363  dihord6apre  31371  dihord5b  31374  dihord6b  31375  dihord5apre  31377  dih0  31395  dih1  31401  dihwN  31404  dihmeetlem1N  31405  dihglblem5apreN  31406  dihglblem5aN  31407  dihglblem2aN  31408  dihglblem2N  31409  dihglblem3N  31410  dihmeetlem2N  31414  dihglbcpreN  31415  dihmeetbclemN  31419  dihmeetlem3N  31420  dihmeetlem4preN  31421  dihmeetlem6  31424  dihjatc1  31426  dihmeetlem18N  31439  dih1dimatlem  31444  dihjatcclem1  31533  dihjatcclem2  31534  dihjatcclem4  31536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-lhyp 30102
  Copyright terms: Public domain W3C validator