MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Unicode version

Theorem limcco 19772
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
limcco.s  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
limcco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
limcco.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
limcco.1  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
limcco.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
Assertion
Ref Expression
limcco  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    X( x, y)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
21expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  =/=  C  ->  R  e.  B ) )
32necon1bd 2666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  =  C ) )
4 limccl 19754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) 
C_  CC
5 limcco.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
64, 5sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8 elsnc2g 3834 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  CC  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
103, 9sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  e.  { C } ) )
1110orrd 368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
12 elun 3480 . . . . 5  |-  ( R  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
1311, 12sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  ( B  u.  { C } ) )
14 eqid 2435 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
1513, 14fmptd 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> ( B  u.  { C } ) )
16 limcco.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
17 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  ( y  e.  B  |->  S )
1816, 17fmptd 5885 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC )
19 fdm 5587 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
21 limcco.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
22 limcrcl 19753 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim
CC  C )  -> 
( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
2423simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  C_  CC )
2520, 24eqsstr3d 3375 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
266snssd 3935 . . . 4  |-  ( ph  ->  { C }  C_  CC )
2725, 26unssd 3515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  u.  { C } )  C_  CC )
28 eqid 2435 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
29 eqid 2435 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )
3025, 6, 16, 29, 28limcmpt 19762 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C
)  <->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
3121, 30mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
3215, 27, 28, 29, 5, 31limccnp 19770 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
) )
33 ssun2 3503 . . . 4  |-  { C }  C_  ( B  u.  { C } )
34 snssg 3924 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  X )  -> 
( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
355, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
3633, 35mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B  u.  { C }
) )
37 iftrue 3737 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  D )
38 eqid 2435 . . . 4  |-  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  =  ( y  e.  ( B  u.  { C }
)  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S ) )
3937, 38fvmptg 5796 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( B  u.  { C }
)  /\  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
4036, 21, 39syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
41 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
42 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  =  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) ) )
43 eqeq1 2441 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  (
y  =  C  <->  R  =  C ) )
44 limcco.1 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
4543, 44ifbieq2d 3751 . . . . 5  |-  ( y  =  R  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  if ( R  =  C ,  D ,  T )
)
4613, 41, 42, 45fmptco 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T )
) )
47 ifid 3763 . . . . . 6  |-  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  T
48 limcco.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
4948anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  R  =  C )  ->  T  =  D )
5049ifeq1da 3756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )
5147, 50syl5reqr 2482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  D ,  T )  =  T )
5251mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5346, 52eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5453oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
)  =  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
5532, 40, 543eltr3d 2515 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   dom cdm 4870    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695    CnP ccnp 17281   lim CC climc 19741
This theorem is referenced by:  dvcobr  19824  dvcnvlem  19852  lhop2  19891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-limc 19745
  Copyright terms: Public domain W3C validator