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Theorem limcflf 19231
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of  B restricted to  A  \  { B }, to the topology of the complexes. (If  B is not a limit point of  A, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcflf.c  |-  C  =  ( A  \  { B } )
limcflf.l  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
Assertion
Ref Expression
limcflf  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables  t 
s  u  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
21inex1 4155 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  i^i  C )  e. 
_V
32rgenw 2610 . . . . . . . . 9  |-  A. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e. 
_V
4 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )  =  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )
5 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( ( F  |`  C ) " (
t  i^i  C )
) )
6 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  i^i  C )  C_  C
7 resima2 4988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  C ) 
C_  C  ->  (
( F  |`  C )
" ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  C ) " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
)
95, 8syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
109sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
114, 10rexrnmpt 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e.  _V  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
123, 11mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
14 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  e.  _V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  =  ( A  \  { B } )
16 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
1715, 16eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  C_  A
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1917, 18syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
20 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
2120ssex 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  CC  ->  C  e. 
_V )
2219, 21syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  C  e.  _V )
24 restval 13331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  K
) `  { B } )  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2514, 23, 24sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2613, 25syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  L  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2726rexeqdv 2743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  L  (
( F  |`  C )
" s )  C_  u 
<->  E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  e. 
Top
30 opnneip 16856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
3129, 30mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
32 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  t  =  w )
3315a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  C  =  ( A  \  { B } ) )
3432, 33ineq12d 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
t  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3534imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
3635sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
( F " (
t  i^i  C )
)  C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
3736rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3831, 37sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3938anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  K  /\  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
4039rexlimiva 2662 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
41 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) )
4228cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4342toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  =  U. K
4443neii1 16843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) )  ->  t  C_  CC )
4529, 41, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  C_  CC )
4643ntropn 16786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  e.  K )
4729, 45, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  e.  K )
4829a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  K  e.  Top )
4943lpss 16874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
5029, 18, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
5250, 51sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5352snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  CC )
5543neiint 16841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  { B }  C_  CC  /\  t  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
5648, 54, 45, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  <->  { B }  C_  ( ( int `  K
) `  t )
) )
5741, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) )
5852ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  CC )
59 snssg 3754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6157, 60mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  ( ( int `  K
) `  t )
)
6243ntrss2 16794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  C_  t )
6329, 45, 62sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  C_  t )
64 ssrin 3394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( int `  K
) `  t )  C_  t  ->  ( (
( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )
)
65 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )  ->  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
67 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
6866, 67sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u )
69 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( B  e.  w  <->  B  e.  (
( int `  K
) `  t )
) )
7015ineq2i 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) )
71 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  C )  =  ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )
7270, 71syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)
7372imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) ) )
7473sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)  C_  u )
)
7569, 74anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `
 t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  u ) ) )
7675rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  e.  K  /\  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u ) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
7747, 61, 68, 76syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
7877expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) )  -> 
( ( F "
( t  i^i  C
) )  C_  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) )
7978rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( F " ( t  i^i  C ) ) 
C_  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
8040, 79impbid2 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) ( F "
( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
8112, 27, 803bitr4rd 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C )
" s )  C_  u ) )
8281anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  x  e.  u )  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
)  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
8382pm5.74da 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8483ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8584pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
86 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8786, 18, 52, 28ellimc2 19227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
8842a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8986, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 19230 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  C ) )
90 fssres 5408 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
9186, 17, 90sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C ) : C --> CC )
92 isflf 17688 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  L  e.  ( Fil `  C
)  /\  ( F  |`  C ) : C --> CC )  ->  ( x  e.  ( ( K 
fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
) ) )
9388, 89, 91, 92syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 ( F  |`  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
9485, 87, 933bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) ) )
9594eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754   neicnei 16834   limPtclp 16866   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  limcmo  19232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-cnp 16958  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
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