Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcfval Unicode version

Theorem limcfval 19222
 Description: Value and set bounds on the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcval.j t
limcval.k fld
Assertion
Ref Expression
limcfval lim lim
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem limcfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-limc 19216 . . . 4 lim fld t
21a1i 10 . . 3 lim fld t
3 fvex 5539 . . . . . 6 fld
43a1i 10 . . . . 5 fld
5 simplrl 736 . . . . . . . . . 10 fld
65dmeqd 4881 . . . . . . . . 9 fld
7 simpll1 994 . . . . . . . . . 10 fld
8 fdm 5393 . . . . . . . . . 10
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9 fld
106, 9eqtrd 2315 . . . . . . . 8 fld
11 simplrr 737 . . . . . . . . 9 fld
1211sneqd 3653 . . . . . . . 8 fld
1310, 12uneq12d 3330 . . . . . . 7 fld
1411eqeq2d 2294 . . . . . . . 8 fld
155fveq1d 5527 . . . . . . . 8 fld
1614, 15ifbieq2d 3585 . . . . . . 7 fld
1713, 16mpteq12dv 4098 . . . . . 6 fld
18 simpr 447 . . . . . . . . . . 11 fld fld
19 limcval.k . . . . . . . . . . 11 fld
2018, 19syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10 fld
2120, 13oveq12d 5876 . . . . . . . . 9 fld t t
22 limcval.j . . . . . . . . 9 t
2321, 22syl6eqr 2333 . . . . . . . 8 fld t
2423, 20oveq12d 5876 . . . . . . 7 fld t
2524, 11fveq12d 5531 . . . . . 6 fld t
2617, 25eleq12d 2351 . . . . 5 fld t
274, 26sbcied 3027 . . . 4 fld t
2827abbidv 2397 . . 3 fld t
29 cnex 8818 . . . . 5
30 elpm2r 6788 . . . . 5
3129, 29, 30mpanl12 663 . . . 4
33 simp3 957 . . 3
34 eqid 2283 . . . . . 6
3522, 19, 34limcvallem 19221 . . . . 5
3635abssdv 3247 . . . 4
3729ssex 4158 . . . 4
3836, 37syl 15 . . 3
392, 28, 32, 33, 38ovmpt2d 5975 . 2 lim
4039, 36eqsstrd 3212 . 2 lim
4139, 40jca 518 1 lim lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269  cvv 2788  wsbc 2991   cun 3150   wss 3152  cif 3565  csn 3640   cmpt 4077   cdm 4689  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860   cpm 6773  cc 8735   ↾t crest 13325  ctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   ccnp 16955   lim climc 19212 This theorem is referenced by:  ellimc  19223  limccl  19225 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
 Copyright terms: Public domain W3C validator