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Theorem limcun 19245
Description: A point is a limit of  F on  A  u.  B iff it is the limit of the restriction of  F to  A and to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcun.2  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
limcun.3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
Assertion
Ref Expression
limcun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )

Proof of Theorem limcun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 19224 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
21simp3d 969 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC )
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC ) )
4 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )
54sseli 3176 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C ) )
6 limcrcl 19224 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
76simp3d 969 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  C  e.  CC )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  C  e.  CC )
98a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )  ->  C  e.  CC ) )
10 prfi 7131 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  e.  Fin
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
12 limcun.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
14 limcun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1514adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  C_  CC )
16 cnex 8818 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
1716ssex 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
1813, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  e. 
_V )
1916ssex 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
2015, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e. 
_V )
21 sseq1 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  CC  <->  A  C_  CC ) )
22 sseq1 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  CC  <->  B  C_  CC ) )
2321, 22ralprg 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } y  C_  CC  <->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC ) ) )
2418, 20, 23syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC 
<->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )
) )
2513, 15, 24mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC )
26 limcun.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
2726adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F :
( A  u.  B
) --> CC )
28 uniiun 3955 . . . . . . . . . 10  |-  U. { A ,  B }  =  U_ y  e.  { A ,  B }
y
29 uniprg 3842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3018, 20, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B ) )
3128, 30syl5eqr 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U_ y  e.  { A ,  B } y  =  ( A  u.  B ) )
3231feq2d 5380 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F : U_ y  e. 
{ A ,  B } y --> CC  <->  F :
( A  u.  B
) --> CC ) )
3327, 32mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F : U_ y  e.  { A ,  B } y --> CC )
34 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
3511, 25, 33, 34limciun 19244 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F lim
CC  C )  =  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) ) )
3635eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C
) ) ) )
37 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  A ) )
3837oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
) )
3938eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C ) ) )
40 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
4140oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
4241eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
4339, 42ralprg 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4418, 20, 43syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4544anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
46 limccl 19225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  C_  CC
4746sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  x  e.  CC )
4847adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  x  e.  CC )
4948pm4.71ri 614 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5045, 49syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) ) ) )
51 elriin 3974 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )
) )
52 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
5350, 51, 523bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5436, 53bitrd 244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5554ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
563, 9, 55pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5756eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {cpr 3641   U.cuni 3827   U_ciun 3905   |^|_ciin 3906   dom cdm 4689    |` cres 4691   -->wf 5251  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  lhop  19363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
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