Theorem limenpsi 4491

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	|- (A e. B -> A ~~ (A \ {(/)}))

Proof of Theorem limenpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 4443	. 2 |- ((A ~<_ (A \ {(/)}) /\ (A \ {(/)}) ~<_ A) -> A ~~ (A \ {(/)}))
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 |- Lim A
3		limsuc 3115	. . . . . . 7 |- (Lim A -> (x e. A <-> suc x e. A))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (x e. A <-> suc x e. A)
5	4	biimp 151	. . . . 5 |- (x e. A -> suc x e. A)
6		nsuceq0 3048	. . . . 5 |- suc x =/= (/)
7	5, 6	jctir 293	. . . 4 |- (x e. A -> (suc x e. A /\ suc x =/= (/)))
8		eldifsn 2458	. . . 4 |- (suc x e. (A \ {(/)}) <-> (suc x e. A /\ suc x =/= (/)))
9	7, 8	sylibr 200	. . 3 |- (x e. A -> suc x e. (A \ {(/)}))
10		suc11 3088	. . . 4 |- ((x e. On /\ y e. On) -> (suc x = suc y <-> x = y))
11		limord 3023	. . . . . 6 |- (Lim A -> Ord A)
12	2, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- Ord A
13		ordelon 2966	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> x e. On)
14	12, 13	mpan 694	. . . 4 |- (x e. A -> x e. On)
15		ordelon 2966	. . . . 5 |- ((Ord A /\ y e. A) -> y e. On)
16	12, 15	mpan 694	. . . 4 |- (y e. A -> y e. On)
17	10, 14, 16	syl2an 454	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (suc x = suc y <-> x = y))
18	9, 17	dom2 4392	. 2 |- (A e. B -> A ~<_ (A \ {(/)}))
19		difss 2163	. . 3 |- (A \ {(/)}) (_ A
20		ssdom2g 4396	. . 3 |- (A e. B -> ((A \ {(/)}) (_ A -> (A \ {(/)}) ~<_ A))
21	19, 20	mpi 44	. 2 |- (A e. B -> (A \ {(/)}) ~<_ A)
22	1, 18, 21	sylanc 471	1 |- (A e. B -> A ~~ (A \ {(/)}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   \ cdif 2040   (_ wss 2043  (/)c0 2276  {csn 2405   class class class wbr 2614  Ord word 2942  Oncon0 2943  Lim wlim 2944  suc csuc 2945   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  limensuci 4492  omenps 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain