MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4608
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 4602 . 2  |-  Ord  om
2 ordeleqon 4517 . . 3  |-  ( Ord 
om 
<->  ( om  e.  On  \/  om  =  On ) )
3 ordirr 4347 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
41, 3ax-mp 10 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
5 elom 4596 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  om  <->  ( om  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
65baib 876 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
74, 6mtbii 295 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  -.  A. x ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
8 limomss 4598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9 limord 4388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  x )  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
111, 9, 10sylancr 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
128, 11mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) )
1312ord 368 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  om  =  x ) )
14 limeq 4341 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  =  x  ->  ( Lim  om  <->  Lim  x ) )
1514biimprcd 218 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( om  =  x  ->  Lim  om ) )
1613, 15syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  Lim  om ) )
1716con1d 118 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  Lim  om  ->  om  e.  x ) )
1817com12 29 . . . . . 6  |-  ( -. 
Lim  om  ->  ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
1918alrimiv 2013 . . . . 5  |-  ( -. 
Lim  om  ->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
207, 19nsyl2 121 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  Lim  om )
21 limon 4564 . . . . 5  |-  Lim  On
22 limeq 4341 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( Lim  om  <->  Lim  On ) )
2321, 22mpbiri 226 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  Lim  om )
2420, 23jaoi 370 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  \/  om  =  On )  ->  Lim  om )
252, 24sylbi 189 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Lim  om )
261, 25ax-mp 10 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   Ord word 4328   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   omcom 4593
This theorem is referenced by:  peano2b  4609  ssnlim  4611  peano1  4612  onesuc  6462  oaabslem  6574  oaabs2  6576  omabslem  6577  infensuc  6972  infeq5i  7270  elom3  7282  omenps  7288  omensuc  7289  infdifsn  7290  cardlim  7538  r1om  7803  cfom  7823  ominf4  7871  alephom  8140  wunexALT  8296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594
  Copyright terms: Public domain W3C validator