MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4562
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 4556 . 2  |-  Ord  om
2 ordeleqon 4471 . . 3  |-  ( Ord 
om 
<->  ( om  e.  On  \/  om  =  On ) )
3 ordirr 4303 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
41, 3ax-mp 10 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
5 elom 4550 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  om  <->  ( om  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
65baib 876 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
74, 6mtbii 295 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  -.  A. x ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
8 limomss 4552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9 limord 4344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  x )  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
111, 9, 10sylancr 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
128, 11mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) )
1312ord 368 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  om  =  x ) )
14 limeq 4297 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  =  x  ->  ( Lim  om  <->  Lim  x ) )
1514biimprcd 218 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( om  =  x  ->  Lim  om ) )
1613, 15syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  Lim  om ) )
1716con1d 118 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  Lim  om  ->  om  e.  x ) )
1817com12 29 . . . . . 6  |-  ( -. 
Lim  om  ->  ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
1918alrimiv 2012 . . . . 5  |-  ( -. 
Lim  om  ->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
207, 19nsyl2 121 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  Lim  om )
21 limon 4518 . . . . 5  |-  Lim  On
22 limeq 4297 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( Lim  om  <->  Lim  On ) )
2321, 22mpbiri 226 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  Lim  om )
2420, 23jaoi 370 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  \/  om  =  On )  ->  Lim  om )
252, 24sylbi 189 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Lim  om )
261, 25ax-mp 10 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   Ord word 4284   Oncon0 4285   Lim wlim 4286   omcom 4547
This theorem is referenced by:  peano2b  4563  ssnlim  4565  peano1  4566  onesuc  6415  oaabslem  6527  oaabs2  6529  omabslem  6530  infensuc  6924  infeq5i  7221  elom3  7233  omenps  7239  omensuc  7240  infdifsn  7241  cardlim  7489  r1om  7754  cfom  7774  ominf4  7822  alephom  8087  wunexALT  8243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548
  Copyright terms: Public domain W3C validator