Theorem limom 3141

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3136	. 2 |- Ord om
2		ordeleqon 2985	. . 3 |- (Ord om <-> (om e. On \/ om = On))
3		ordirr 2961	. . . . . 6 |- (Ord om -> -. om e. om)
4	1, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- -. om e. om
5		elomg 3130	. . . . . 6 |- (om e. On -> (om e. om <-> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x))))
6		ordtri1 2975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om <-> -. om e. x))
7	6	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x (_ om <-> -. om e. x))
8		ordsseleq 2971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om <-> (x e. om \/ x = om)))
9	8	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om -> (x e. om \/ x = om)))
10		nnlim 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. om -> -. Lim x)
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x e. om -> -. Lim x))
12		limeq 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
13	12	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = om -> (Lim x -> Lim om))
14	13	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = om -> (-. Lim om -> -. Lim x))
15	14	com12 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x = om -> -. Lim x))
16	11, 15	jaod 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. Lim om -> ((x e. om \/ x = om) -> -. Lim x))
17	9, 16	sylan9 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x (_ om -> -. Lim x))
18	7, 17	sylbird 205	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (-. om e. x -> -. Lim x))
19	18	a3d 75	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
20	1, 19	mpanl2 706	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
21		limord 3023	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim x -> Ord x)
22	20, 21	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
23	22	ex 373	. . . . . . . . 9 |- (Lim x -> (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x)))
24	23	pm2.43b 67	. . . . . . . 8 |- (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x))
25	24	19.21aiv 1284	. . . . . . 7 |- (-. Lim om -> A.x(Lim x -> om e. x))
26	25, 1	jctil 292	. . . . . 6 |- (-. Lim om -> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x)))
27	5, 26	syl5bir 210	. . . . 5 |- (om e. On -> (-. Lim om -> om e. om))
28	4, 27	mt3i 113	. . . 4 |- (om e. On -> Lim om)
29		limon 3089	. . . . 5 |- Lim On
30		limeq 2955	. . . . 5 |- (om = On -> (Lim om <-> Lim On))
31	29, 30	mpbiri 194	. . . 4 |- (om = On -> Lim om)
32	28, 31	jaoi 341	. . 3 |- ((om e. On \/ om = On) -> Lim om)
33	2, 32	sylbi 199	. 2 |- (Ord om -> Lim om)
34	1, 33	ax-mp 7	1 |- Lim om

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  Ord word 2942  Oncon0 2943  Lim wlim 2944  omcom 3126

This theorem is referenced by:  peano2b 3142  peano1 3144  ssnlim 3162  oaabslem 4241  oaabs 4242  infeq5 4601  elom3 4611  omenps 4616  omensuc 4617  cardlim 4831

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127

Copyright terms: Public domain