Theorem limom 3233

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3228	. 2 |- Ord om
2		ordeleqon 3144	. . 3 |- (Ord om <-> (om e. On \/ om = On))
3		ordirr 2993	. . . . . 6 |- (Ord om -> -. om e. om)
4	1, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- -. om e. om
5		elomg 3222	. . . . . 6 |- (om e. On -> (om e. om <-> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x))))
6		ordtri1 3008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om <-> -. om e. x))
7	6	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x (_ om <-> -. om e. x))
8		ordsseleq 3004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om <-> (x e. om \/ x = om)))
9	8	biimpd 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x (_ om -> (x e. om \/ x = om)))
10		nnlim 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. om -> -. Lim x)
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x e. om -> -. Lim x))
12		limeq 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
13	12	biimpd 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = om -> (Lim x -> Lim om))
14	13	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = om -> (-. Lim om -> -. Lim x))
15	14	com12 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x = om -> -. Lim x))
16	11, 15	jaod 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. Lim om -> ((x e. om \/ x = om) -> -. Lim x))
17	9, 16	sylan9 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x (_ om -> -. Lim x))
18	7, 17	sylbird 203	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (-. om e. x -> -. Lim x))
19	18	con4d 75	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
20	1, 19	mpanl2 711	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
21		limord 3032	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim x -> Ord x)
22	20, 21	sylan 450	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
23	22	ex 371	. . . . . . . . 9 |- (Lim x -> (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x)))
24	23	pm2.43b 67	. . . . . . . 8 |- (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x))
25	24	19.21aiv 1324	. . . . . . 7 |- (-. Lim om -> A.x(Lim x -> om e. x))
26	25, 1	jctil 290	. . . . . 6 |- (-. Lim om -> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x)))
27	5, 26	syl5bir 208	. . . . 5 |- (om e. On -> (-. Lim om -> om e. om))
28	4, 27	mt3i 112	. . . 4 |- (om e. On -> Lim om)
29		limon 3190	. . . . 5 |- Lim On
30		limeq 2987	. . . . 5 |- (om = On -> (Lim om <-> Lim On))
31	29, 30	mpbiri 192	. . . 4 |- (om = On -> Lim om)
32	28, 31	jaoi 339	. . 3 |- ((om e. On \/ om = On) -> Lim om)
33	2, 32	sylbi 197	. 2 |- (Ord om -> Lim om)
34	1, 33	ax-mp 7	1 |- Lim om

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994   (_ wss 2099  Ord word 2974  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  omcom 3218

This theorem is referenced by:  peano2b 3234  ssnlim 3236  peano1 3237  oaabslem 4391  oaabs 4392  infeq5 4766  elom3 4777  omenps 4782  omensuc 4783  cardlim 5001  omsublim 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219

Copyright terms: Public domain