Theorem limsuc 3203

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member.

Assertion

Ref	Expression
limsuc	|- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Proof of Theorem limsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 3202	. . 3 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))
2		suceq 3038	. . . . . 6 |- (x = B -> suc x = suc B)
3	2	eleq1d 1583	. . . . 5 |- (x = B -> (suc x e. A <-> suc B e. A))
4	3	rcla4cv 1920	. . . 4 |- (A.x e. A suc x e. A -> (B e. A -> suc B e. A))
5	4	3ad2ant3 808	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A) -> (B e. A -> suc B e. A))
6	1, 5	sylbi 197	. 2 |- (Lim A -> (B e. A -> suc B e. A))
7		limord 3032	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
8		ordtr 2989	. . 3 |- (Ord A -> Tr A)
9		trsuc 3056	. . . 4 |- ((Tr A /\ suc B e. A) -> B e. A)
10	9	ex 371	. . 3 |- (Tr A -> (suc B e. A -> B e. A))
11	7, 8, 10	3syl 20	. 2 |- (Lim A -> (suc B e. A -> B e. A))
12	6, 11	impbid 519	1 |- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  (/)c0 2332  Tr wtr 2754  Ord word 2974  Lim wlim 2976  suc csuc 2977

This theorem is referenced by:  limsssuc 3204  limuni3 3206  peano2b 3234  oaordi 4316  oarec 4332  omordi 4333  oeordi 4350  oelim2 4358  limenpsi 4652  r1ord 4801  ranklim 4831  r1pwcl 4833  rankxplim3 4860  alephordi 5024  cflim 5059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981

Copyright terms: Public domain