Theorem limsuc 3110

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member.

Assertion

Ref	Expression
limsuc	|- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Proof of Theorem limsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 3109	. . 3 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))
2		suceq 3024	. . . . . 6 |- (x = B -> suc x = suc B)
3	2	eleq1d 1532	. . . . 5 |- (x = B -> (suc x e. A <-> suc B e. A))
4	3	rcla4cv 1865	. . . 4 |- (A.x e. A suc x e. A -> (B e. A -> suc B e. A))
5	4	3ad2ant3 800	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A) -> (B e. A -> suc B e. A))
6	1, 5	sylbi 199	. 2 |- (Lim A -> (B e. A -> suc B e. A))
7		limord 3018	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
8		ordtr 2952	. . 3 |- (Ord A -> Tr A)
9		trsuc 3045	. . . 4 |- ((Tr A /\ suc B e. A) -> B e. A)
10	9	ex 373	. . 3 |- (Tr A -> (suc B e. A -> B e. A))
11	7, 8, 10	3syl 20	. 2 |- (Lim A -> (suc B e. A -> B e. A))
12	6, 11	impbid 514	1 |- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  (/)c0 2270  Tr wtr 2670  Ord word 2937  Lim wlim 2939  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  limsssuc 3111  limuni3 3113  peano2b 3137  oaordi 4164  oarec 4180  omordi 4181  oeordi 4198  oelim2 4206  limenpsi 4485  r1ord 4627  ranklim 4657  r1pwcl 4659  rankxplim3 4686  alephordi 4846  cflim 4881

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain