Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupbnd1 Unicode version

Theorem limsupbnd1 11956
 Description: If a sequence is eventually at most , then the limsup is also at most . (The converse is only true if the less or equal is replaced by strictly less than; consider the sequence which is never less or equal to zero even though the limsup is.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1
limsupbnd.2
limsupbnd.3
limsupbnd1.4
Assertion
Ref Expression
limsupbnd1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem limsupbnd1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd1.4 . 2
2 limsupbnd.1 . . . . . 6
32adantr 451 . . . . 5
4 limsupbnd.2 . . . . . 6
54adantr 451 . . . . 5
6 simpr 447 . . . . 5
7 limsupbnd.3 . . . . . 6
87adantr 451 . . . . 5
9 eqid 2283 . . . . . 6
109limsupgle 11951 . . . . 5
113, 5, 6, 8, 10syl211anc 1188 . . . 4
12 reex 8828 . . . . . . . . . . . 12
1312ssex 4158 . . . . . . . . . . 11
142, 13syl 15 . . . . . . . . . 10
15 xrex 10351 . . . . . . . . . . 11
1615a1i 10 . . . . . . . . . 10
17 fex2 5401 . . . . . . . . . 10
184, 14, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
19 limsupcl 11947 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8
21 xrleid 10484 . . . . . . . 8
2220, 21syl 15 . . . . . . 7
239limsuple 11952 . . . . . . . 8
242, 4, 20, 23syl3anc 1182 . . . . . . 7
2522, 24mpbid 201 . . . . . 6
2625r19.21bi 2641 . . . . 5
2720adantr 451 . . . . . 6
289limsupgf 11949 . . . . . . . 8
2928a1i 10 . . . . . . 7
30 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
3129, 30sylan 457 . . . . . 6
32 xrletr 10489 . . . . . 6
3327, 31, 8, 32syl3anc 1182 . . . . 5
3426, 33mpand 656 . . . 4
3511, 34sylbird 226 . . 3
3635rexlimdva 2667 . 2
371, 36mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cin 3151   wss 3152   class class class wbr 4023   cmpt 4077  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cr 8736   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868  cico 10658  clsp 11944 This theorem is referenced by:  caucvgrlem  12145 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ico 10662  df-limsup 11945
 Copyright terms: Public domain W3C validator