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Theorem limsupgre 11971
 Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1
limsupgre.z
Assertion
Ref Expression
limsupgre
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10491 . . . 4
21supex 7230 . . 3
32a1i 10 . 2
4 limsupval.1 . . 3
54a1i 10 . 2
64limsupgval 11966 . . . 4
8 simpl3 960 . . . . . . 7
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11
10 uzssz 10263 . . . . . . . . . . 11
119, 10eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10
12 zssre 10047 . . . . . . . . . 10
1311, 12sstri 3201 . . . . . . . . 9
1413a1i 10 . . . . . . . 8
15 simpl2 959 . . . . . . . . 9
16 ressxr 8892 . . . . . . . . 9
17 fss 5413 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . 8
19 pnfxr 10471 . . . . . . . . 9
2019a1i 10 . . . . . . . 8
214limsuplt 11969 . . . . . . . 8
2214, 18, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . 7
238, 22mpbid 201 . . . . . 6
24 fzfi 11050 . . . . . . . . . 10
2515adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
26 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . 13
2726, 9syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . 12
28 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
2925, 27, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . 11
3029ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10
31 fimaxre3 9719 . . . . . . . . . 10
3224, 30, 31sylancr 644 . . . . . . . . 9
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
354limsupgf 11965 . . . . . . . . . . . . . 14
3635ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . 13
3734, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12
38 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
3916, 38sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
4235ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
44 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . 13
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
4619a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
4740ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4813a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 xrleid 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5143, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5218ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
534limsupgle 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5551, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5655r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5847, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5939adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 xrmax1 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6352, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6445adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 xrletr 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6663, 58, 64, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6761, 66mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6957, 68mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7170, 9syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7241flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7611, 70sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
77 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7847, 76, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7975, 78bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8584rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8680, 82, 85sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 xrmax2 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8843, 39, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 xrletr 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9163, 59, 64, 90syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9289, 91mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9486, 93mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9547, 49, 69, 94lecasei 8942 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695a1d 22 . . . . . . . . . . . . . 14
9796ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13
984limsupgle 11967 . . . . . . . . . . . . . 14
9948, 52, 34, 45, 98syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13
10097, 99mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
101 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . 14
10238, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
103 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13
104 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14
105 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14
106104, 105ifboth 3609 . . . . . . . . . . . . 13
107102, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
10837, 45, 46, 100, 107xrlelttrd 10507 . . . . . . . . . . 11
109108expr 598 . . . . . . . . . 10
110109rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9
11132, 110mpd 14 . . . . . . . 8
112111expr 598 . . . . . . 7
113112rexlimdva 2680 . . . . . 6
11423, 113mpd 14 . . . . 5
1157, 114eqbrtrrd 4061 . . . 4
116 imassrn 5041 . . . . . . . . 9
117 frn 5411 . . . . . . . . . 10
11815, 117syl 15 . . . . . . . . 9
119116, 118syl5ss 3203 . . . . . . . 8
120119, 16syl6ss 3204 . . . . . . 7
121 df-ss 3179 . . . . . . 7
122120, 121sylib 188 . . . . . 6
123122, 119eqsstrd 3225 . . . . 5
124 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11
125 flcl 10943 . . . . . . . . . . . . . 14
126125adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
127126peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . 12
128 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . 12
129127, 124, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
130124zred 10133 . . . . . . . . . . . 12
131127zred 10133 . . . . . . . . . . . 12
132 max1 10530 . . . . . . . . . . . 12
133130, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
134 eluz2 10252 . . . . . . . . . . 11
135124, 129, 133, 134syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . 10
136135, 9syl6eleqr 2387 . . . . . . . . 9
137 fdm 5409 . . . . . . . . . 10
13815, 137syl 15 . . . . . . . . 9
139136, 138eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8
140129zred 10133 . . . . . . . . 9
141 fllep1 10949 . . . . . . . . . . 11
142141adantl 452 . . . . . . . . . 10
143 max2 10532 . . . . . . . . . . 11
144130, 131, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
14533, 131, 140, 142, 144letrd 8989 . . . . . . . . 9
146 elicopnf 10755 . . . . . . . . . 10
147146adantl 452 . . . . . . . . 9
148140, 145, 147mpbir2and 888 . . . . . . . 8
149 inelcm 3522 . . . . . . . 8
150139, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . 7
151 imadisj 5048 . . . . . . . 8
152151necon3bii 2491 . . . . . . 7
153150, 152sylibr 203 . . . . . 6
154122, 153eqnetrd 2477 . . . . 5
155 supxrre1 10665 . . . . 5
156123, 154, 155syl2anc 642 . . . 4
157115, 156mpbird 223 . . 3
1587, 157eqeltrd 2370 . 2
1593, 5, 158fmpt2d 5704 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  csup 7209  cr 8752  c1 8754   caddc 8756   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cz 10040  cuz 10246  cico 10674  cfz 10798  cfl 10940  clsp 11960 This theorem is referenced by:  mbflimsup  19037 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-limsup 11961
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