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Theorem limsupgre 12265
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
limsupgre.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
limsupgre  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G : RR --> RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables  n  i  a  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10724 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21supex 7458 . . 3  |-  sup (
( ( F "
( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  k  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V )
4 limsupval.1 . . 3  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) )
64limsupgval 12260 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
76adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
8 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( limsup `
 F )  <  +oo )
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 uzssz 10495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
119, 10eqsstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
12 zssre 10279 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3349 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  Z  C_  RR )
15 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR )
16 ressxr 9119 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
17 fss 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : Z --> RR* )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR* )
19 pnfxr 10703 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  +oo  e.  RR* )
214limsuplt 12263 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( ( limsup `
 F )  <  +oo 
<->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo ) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( limsup `  F )  <  +oo  <->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo ) )
238, 22mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo )
24 fzfi 11301 . . . . . . . 8  |-  ( M ... ( |_ `  n ) )  e. 
Fin
2515adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  F : Z --> RR )
26 elfzuz 11045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2726, 9syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  Z )
28 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  RR )
2925, 27, 28syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
3029ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  e.  RR )
31 fimaxre3 9947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ... ( |_ `  n ) )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
3224, 30, 31sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
33 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
3433ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  a  e.  RR )
354limsupgf 12259 . . . . . . . . . 10  |-  G : RR
--> RR*
3635ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
38 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3916, 38sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR* )
40 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  n  e.  RR )
4235ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
44 ifcl 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR* )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
4539, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )
4619a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  +oo  e.  RR* )
4740ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  n  e.  RR )
4813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  Z  C_  RR )
4948sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
50 xrleid 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  n )  e.  RR*  ->  ( G `
 n )  <_ 
( G `  n
) )
5143, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <_  ( G `  n )
)
5218ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  F : Z
--> RR* )
534limsupgle 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  n  e.  RR  /\  ( G `  n
)  e.  RR* )  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n )  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) ) )
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n
)  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  -> 
( F `  i
)  <_  ( G `  n ) ) ) )
5551, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n )
) )
5655r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) )
5756imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n
) )
5847, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
5939adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  e.  RR* )
60 xrmax1 10753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6252ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6345adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
64 xrletr 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6562, 58, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6661, 65mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6857, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
69 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
7069, 9syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7141flcld 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
73 elfz5 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( |_ `  n )  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7511, 69sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
76 flge 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7747, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7874, 77bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  n ) )
7978biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) )
80 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
8180ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
82 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
8382breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  <_  r  <->  ( F `  i )  <_  r
) )
8483rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  <_ 
r  ->  ( F `  i )  <_  r
) )
8579, 81, 84sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  r )
86 xrmax2 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
8743, 39, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
89 xrletr 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9062, 59, 63, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9188, 90mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9385, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9447, 49, 68, 93lecasei 9169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9594a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
974limsupgle 12261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  a  e.  RR  /\  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  e.  RR* )  ->  ( ( G `
 a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) ) ) )
9848, 52, 34, 45, 97syl211anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  a )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) ) )
9996, 98mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
100 ltpnf 10711 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR  ->  r  <  +oo )
10138, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <  +oo )
102 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <  +oo )
103 breq1 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( r  <  +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
)
104 breq1 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  n )  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( ( G `  n )  <  +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
)
105103, 104ifboth 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  <  +oo  /\  ( G `  n )  <  +oo )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
106101, 102, 105syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  <  +oo )
10737, 45, 46, 99, 106xrlelttrd 10740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <  +oo )
10832, 107rexlimddv 2826 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  ( G `  a )  <  +oo )
10923, 108rexlimddv 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  <  +oo )
1107, 109eqbrtrrd 4226 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo )
111 imassrn 5208 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  C_  ran  F
112 frn 5589 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
11315, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ran  F 
C_  RR )
114111, 113syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  C_  RR )
115114, 16syl6ss 3352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  C_  RR* )
116 df-ss 3326 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  C_  RR*  <->  ( ( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,)  +oo ) ) )
117115, 116sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,)  +oo ) ) )
118117, 114eqsstrd 3374 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR )
119 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
120 flcl 11194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
122121peano2zd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  ZZ )
123 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
124122, 119, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
125119zred 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
126122zred 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  RR )
127 max1 10763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
128125, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
129 eluz2 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
) ) )
130119, 124, 128, 129syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
131130, 9syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
132 fdm 5587 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  dom 
F  =  Z )
13315, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  dom  F  =  Z )
134131, 133eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F )
135124zred 10365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
136 fllep1 11200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
137136adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
138 max2 10765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  a )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
139125, 126, 138syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M ) )
14033, 126, 135, 137, 139letrd 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
141 elicopnf 10990 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
142141adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
143135, 140, 142mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) 
+oo ) )
144 inelcm 3674 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F  /\  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,)  +oo ) )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
145134, 143, 144syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
146 imadisj 5215 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  =  (/) 
<->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =  (/) )
147146necon3bii 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) 
<->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
148145, 147sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  =/=  (/) )
149117, 148eqnetrd 2616 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =/=  (/) )
150 supxrre1 10899 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F "
( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR  /\  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ( ( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
151118, 149, 150syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
152110, 151mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
1537, 152eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  e.  RR )
1543, 5, 153fmpt2d 5890 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G : RR --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   supcsup 7437   RRcr 8979   1c1 8981    + caddc 8983    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   [,)cico 10908   ...cfz 11033   |_cfl 11191   limsupclsp 12254
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-ico 10912  df-fz 11034  df-fl 11192  df-limsup 12255
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