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Theorem limsupgre 11955
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
limsupgre.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
limsupgre  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G : RR --> RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables  n  i  a  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10475 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21supex 7214 . . 3  |-  sup (
( ( F "
( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
32a1i 10 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  k  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V )
4 limsupval.1 . . 3  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
54a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) )
64limsupgval 11950 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
8 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( limsup `
 F )  <  +oo )
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 uzssz 10247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
119, 10eqsstri 3208 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
12 zssre 10031 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  Z  C_  RR )
15 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR )
16 ressxr 8876 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
17 fss 5397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : Z --> RR* )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR* )
19 pnfxr 10455 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  +oo  e.  RR* )
214limsuplt 11953 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( ( limsup `
 F )  <  +oo 
<->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo ) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( limsup `  F )  <  +oo  <->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo ) )
238, 22mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo )
24 fzfi 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... ( |_ `  n ) )  e. 
Fin
2515adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  F : Z --> RR )
26 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2726, 9syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  Z )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  RR )
2925, 27, 28syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
3029ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  e.  RR )
31 fimaxre3 9703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M ... ( |_ `  n ) )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
3224, 30, 31sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  a  e.  RR )
354limsupgf 11949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G : RR
--> RR*
3635ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
3734, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
38 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3916, 38sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR* )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  n  e.  RR )
4235ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
44 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR* )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )
4619a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  +oo  e.  RR* )
4740ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  n  e.  RR )
4813a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  Z  C_  RR )
4948sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
50 xrleid 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  n )  e.  RR*  ->  ( G `
 n )  <_ 
( G `  n
) )
5143, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <_  ( G `  n )
)
5218ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  F : Z
--> RR* )
534limsupgle 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  n  e.  RR  /\  ( G `  n
)  e.  RR* )  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n )  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) ) )
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n
)  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  -> 
( F `  i
)  <_  ( G `  n ) ) ) )
5551, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n )
) )
5655r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) )
5756imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n
) )
5847, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
5939adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  e.  RR* )
60 xrmax1 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : Z --> RR*  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6352, 62sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6445adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
65 xrletr 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6663, 58, 64, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6761, 66mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6957, 68mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
70 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
7170, 9syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7241flcld 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
74 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( |_ `  n )  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7611, 70sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
77 flge 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7847, 76, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7975, 78bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  n ) )
8079biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) )
81 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
83 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
8483breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  <_  r  <->  ( F `  i )  <_  r
) )
8584rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  <_ 
r  ->  ( F `  i )  <_  r
) )
8680, 82, 85sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  r )
87 xrmax2 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
8843, 39, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
90 xrletr 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9163, 59, 64, 90syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9289, 91mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9486, 93mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9547, 49, 69, 94lecasei 8926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9695a1d 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9796ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
984limsupgle 11951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  a  e.  RR  /\  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  e.  RR* )  ->  ( ( G `
 a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) ) ) )
9948, 52, 34, 45, 98syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  a )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) ) )
10097, 99mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
101 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR  ->  r  <  +oo )
10238, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <  +oo )
103 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <  +oo )
104 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( r  <  +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
)
105 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  n )  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( ( G `  n )  <  +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
)
106104, 105ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  +oo  /\  ( G `  n )  <  +oo )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
107102, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  <  +oo )
10837, 45, 46, 100, 107xrlelttrd 10491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <  +oo )
109108expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r  ->  ( G `  a )  <  +oo ) )
110109rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m )  <_  r  ->  ( G `  a )  <  +oo ) )
11132, 110mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  ( G `  a )  <  +oo )
112111expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( G `
 n )  <  +oo  ->  ( G `  a )  <  +oo ) )
113112rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo  ->  ( G `
 a )  <  +oo ) )
11423, 113mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  <  +oo )
1157, 114eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo )
116 imassrn 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  C_  ran  F
117 frn 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
11815, 117syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ran  F 
C_  RR )
119116, 118syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  C_  RR )
120119, 16syl6ss 3191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  C_  RR* )
121 df-ss 3166 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  C_  RR*  <->  ( ( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,)  +oo ) ) )
122120, 121sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,)  +oo ) ) )
123122, 119eqsstrd 3212 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR )
124 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
125 flcl 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
126125adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
127126peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  ZZ )
128 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
129127, 124, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
130124zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
131127zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  RR )
132 max1 10514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
133130, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
134 eluz2 10236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
) ) )
135124, 129, 133, 134syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
136135, 9syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
137 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  dom 
F  =  Z )
13815, 137syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  dom  F  =  Z )
139136, 138eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F )
140129zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
141 fllep1 10933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
142141adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
143 max2 10516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  a )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
144130, 131, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M ) )
14533, 131, 140, 142, 144letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
146 elicopnf 10739 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
147146adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
148140, 145, 147mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) 
+oo ) )
149 inelcm 3509 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F  /\  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,)  +oo ) )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
150139, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
151 imadisj 5032 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  =  (/) 
<->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =  (/) )
152151necon3bii 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) 
<->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
153150, 152sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  =/=  (/) )
154122, 153eqnetrd 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =/=  (/) )
155 supxrre1 10649 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F "
( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR  /\  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ( ( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
156123, 154, 155syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
157115, 156mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
1587, 157eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  e.  RR )
1593, 5, 158fmpt2d 5688 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G : RR --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924   limsupclsp 11944
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-limsup 11945
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