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Theorem limsupgre 11906
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
limsupgre.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
limsupgre  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G : RR --> RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem limsupgre
StepHypRef Expression
1 xrltso 10428 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21supex 7168 . . 3  |-  sup (
( ( F "
( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
32a1i 12 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  k  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V )
4 limsupval.1 . . 3  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
54a1i 12 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( k [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) )
64limsupgval 11901 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
76adantl 454 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
8 simpl3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( limsup `
 F )  <  +oo )
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 uzssz 10200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
119, 10eqsstri 3169 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
12 zssre 9984 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3149 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
1413a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  Z  C_  RR )
15 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR )
16 ressxr 8830 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
17 fss 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : Z --> RR* )
1815, 16, 17sylancl 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR* )
19 pnfxr 10408 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
2019a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  +oo  e.  RR* )
214limsuplt 11904 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( ( limsup `
 F )  <  +oo 
<->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo ) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( limsup `  F )  <  +oo  <->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo ) )
238, 22mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo )
24 fzfi 10986 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ... ( |_ `  n ) )  e. 
Fin
2515adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  F : Z --> RR )
26 elfzuz 10746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2726, 9syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  Z )
28 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  RR )
2925, 27, 28syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
3029ralrimiva 2599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  e.  RR )
31 fimaxre3 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M ... ( |_ `  n ) )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
3224, 30, 31sylancr 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
3433ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  a  e.  RR )
354limsupgf 11900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G : RR
--> RR*
3635ffvelrni 5584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
38 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3916, 38sseldi 3139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR* )
40 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  n  e.  RR )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  n  e.  RR )
4235ffvelrni 5584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
44 ifcl 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR* )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
4539, 43, 44syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )
4619a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  +oo  e.  RR* )
4740ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  n  e.  RR )
4813a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  Z  C_  RR )
4948sselda 3141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
50 xrleid 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  n )  e.  RR*  ->  ( G `
 n )  <_ 
( G `  n
) )
5143, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <_  ( G `  n )
)
5218ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  F : Z
--> RR* )
534limsupgle 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  n  e.  RR  /\  ( G `  n
)  e.  RR* )  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n )  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) ) )
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n
)  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  -> 
( F `  i
)  <_  ( G `  n ) ) ) )
5551, 54mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n )
) )
5655r19.21bi 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) )
5756imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n
) )
5847, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
5939adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  e.  RR* )
60 xrmax1 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
62 ffvelrn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : Z --> RR*  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6352, 62sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6445adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
65 xrletr 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6663, 58, 64, 65syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6761, 66mpan2d 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6867adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6957, 68mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
70 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
7170, 9syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7241flcld 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
7372adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
74 elfz5 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( |_ `  n )  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7571, 73, 74syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7611, 70sseldi 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
77 flge 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7847, 76, 77syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7975, 78bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  n ) )
8079biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) )
81 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
8281ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
83 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
8483breq1d 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  <_  r  <->  ( F `  i )  <_  r
) )
8584rcla4v 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  <_ 
r  ->  ( F `  i )  <_  r
) )
8680, 82, 85sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  r )
87 xrmax2 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
8843, 39, 87syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
8988adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
90 xrletr 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9163, 59, 64, 90syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9289, 91mpan2d 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9392adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9486, 93mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9547, 49, 69, 94lecasei 8880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9695a1d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9796ralrimiva 2599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
984limsupgle 11902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  a  e.  RR  /\  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  e.  RR* )  ->  ( ( G `
 a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) ) ) )
9948, 52, 34, 45, 98syl211anc 1193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  a )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) ) )
10097, 99mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
101 ltpnf 10416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR  ->  r  <  +oo )
10238, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <  +oo )
103 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <  +oo )
104 breq1 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( r  <  +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
)
105 breq1 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  n )  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( ( G `  n )  <  +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
)
106104, 105ifboth 3556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  +oo  /\  ( G `  n )  <  +oo )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <  +oo )
107102, 103, 106syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  <  +oo )
10837, 45, 46, 100, 107xrlelttrd 10444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <  +oo )
109108expr 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  <  +oo ) )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r  ->  ( G `  a )  <  +oo ) )
110109rexlimdva 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m )  <_  r  ->  ( G `  a )  <  +oo ) )
11132, 110mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  <  +oo ) )  ->  ( G `  a )  <  +oo )
112111expr 601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( G `
 n )  <  +oo  ->  ( G `  a )  <  +oo ) )
113112rexlimdva 2640 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  ( G `  n )  <  +oo  ->  ( G `
 a )  <  +oo ) )
11423, 113mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  <  +oo )
1157, 114eqbrtrrd 4005 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo )
116 imassrn 4999 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  C_  ran  F
117 frn 5319 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
11815, 117syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ran  F 
C_  RR )
119116, 118syl5ss 3151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  C_  RR )
120119, 16syl6ss 3152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  C_  RR* )
121 df-ss 3127 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  C_  RR*  <->  ( ( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,)  +oo ) ) )
122120, 121sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,)  +oo ) ) )
123122, 119eqsstrd 3173 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR )
124 simpl1 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
125 flcl 10879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
126125adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
127126peano2zd 10073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  ZZ )
128 ifcl 3561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
129127, 124, 128syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
130124zred 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
131127zred 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  RR )
132 max1 10466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
133130, 131, 132syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
134 eluz2 10189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
) ) )
135124, 129, 133, 134syl3anbrc 1141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
136135, 9syl6eleqr 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
137 fdm 5317 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  dom 
F  =  Z )
13815, 137syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  dom  F  =  Z )
139136, 138eleqtrrd 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F )
140129zred 10070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
141 fllep1 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
142141adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
143 max2 10468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  a )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
144130, 131, 143syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M ) )
14533, 131, 140, 142, 144letrd 8927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
146 elicopnf 10691 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
147146adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
148140, 145, 147mpbir2and 893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) 
+oo ) )
149 inelcm 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F  /\  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,)  +oo ) )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
150139, 148, 149syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
151 imadisj 5006 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  =  (/) 
<->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =  (/) )
152151necon3bii 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) 
<->  ( dom  F  i^i  ( a [,)  +oo ) )  =/=  (/) )
153150, 152sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) 
+oo ) )  =/=  (/) )
154122, 153eqnetrd 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =/=  (/) )
155 supxrre1 10601 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F "
( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR  /\  (
( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* )  =/=  (/) )  -> 
( sup ( ( ( F " (
a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
156123, 154, 155syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
157115, 156mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
1587, 157eqeltrd 2330 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  e.  RR )
1593, 5, 158fmpt2d 5608 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  <  +oo )  ->  G : RR --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    i^i cin 3112    C_ wss 3113   (/)c0 3416   ifcif 3525   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   dom cdm 4647   ran crn 4648   "cima 4650   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Fincfn 6817   supcsup 7147   RRcr 8690   1c1 8692    + caddc 8694    +oocpnf 8818   RR*cxr 8820    < clt 8821    <_ cle 8822   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183   [,)cico 10610   ...cfz 10734   |_cfl 10876   limsupclsp 11895
This theorem is referenced by:  mbflimsup  18969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-ico 10614  df-fz 10735  df-fl 10877  df-limsup 11896
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