Theorem limuni3 3129

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Lim U.A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem limuni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 2966	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (Lim x <-> Lim z))
2	1	rcla4v 1876	. . . . . . 7 |- (z e. A -> (A.x e. A Lim x -> Lim z))
3		visset 1816	. . . . . . . 8 |- z e. V
4		limelon 3038	. . . . . . . 8 |- ((z e. V /\ Lim z) -> z e. On)
5	3, 4	mpan 697	. . . . . . 7 |- (Lim z -> z e. On)
6	2, 5	syl6com 53	. . . . . 6 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> z e. On))
7	6	ssrdv 2073	. . . . 5 |- (A.x e. A Lim x -> A (_ On)
8		ssorduni 2999	. . . . 5 |- (A (_ On -> Ord U.A)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- (A.x e. A Lim x -> Ord U.A)
10	9	adantl 390	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Ord U.A)
11		ne0 2292	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
12		elunii 2512	. . . . . . . . 9 |- (((/) e. z /\ z e. A) -> (/) e. U.A)
13	12	expcom 374	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((/) e. z -> (/) e. U.A))
14		0ellim 3037	. . . . . . . 8 |- (Lim z -> (/) e. z)
15	13, 14	syl5 21	. . . . . . 7 |- (z e. A -> (Lim z -> (/) e. U.A))
16	2, 15	syld 27	. . . . . 6 |- (z e. A -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
17	16	19.23aiv 1297	. . . . 5 |- (E.z z e. A -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
18	11, 17	sylbi 199	. . . 4 |- (A =/= (/) -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
19	18	imp 350	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> (/) e. U.A)
20	1	rcla4cv 1877	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> Lim z))
21		limsuc 3126	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> (y e. z <-> suc y e. z))
22	21	anbi1d 619	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> ((y e. z /\ z e. A) <-> (suc y e. z /\ z e. A)))
23		elunii 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ((suc y e. z /\ z e. A) -> suc y e. U.A)
24	22, 23	syl6bi 214	. . . . . . . . . 10 |- (Lim z -> ((y e. z /\ z e. A) -> suc y e. U.A))
25	24	exp3a 376	. . . . . . . . 9 |- (Lim z -> (y e. z -> (z e. A -> suc y e. U.A)))
26	25	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (Lim z -> (y e. z -> suc y e. U.A)))
27	20, 26	sylcom 51	. . . . . . 7 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> (y e. z -> suc y e. U.A)))
28	27	r19.23adv 1749	. . . . . 6 |- (A.x e. A Lim x -> (E.z e. A y e. z -> suc y e. U.A))
29		eluni2 2511	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.z e. A y e. z)
30	28, 29	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A.x e. A Lim x -> (y e. U.A -> suc y e. U.A))
31	30	r19.21aiv 1716	. . . 4 |- (A.x e. A Lim x -> A.y e. U.A suc y e. U.A)
32	31	adantl 390	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> A.y e. U.A suc y e. U.A)
33	10, 19, 32	3jca 821	. 2 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> (Ord U.A /\ (/) e. U.A /\ A.y e. U.A suc y e. U.A))
34		dflim4 3125	. 2 |- (Lim U.A <-> (Ord U.A /\ (/) e. U.A /\ A.y e. U.A suc y e. U.A))
35	33, 34	sylibr 200	1 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Lim U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  (/)c0 2283  U.cuni 2507  Ord word 2953  Oncon0 2954  Lim wlim 2955  suc csuc 2956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960

Copyright terms: Public domain