Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp Unicode version

Theorem lkrlsp 29914
 Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 29901) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d Scalar
lkrlsp.o
lkrlsp.v
lkrlsp.n
lkrlsp.p
lkrlsp.f LFnl
lkrlsp.k LKer
Assertion
Ref Expression
lkrlsp

Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 15875 . . . . 5
213ad2ant1 976 . . . 4
3 simp2r 982 . . . . 5
4 lkrlsp.f . . . . . 6 LFnl
5 lkrlsp.k . . . . . 6 LKer
6 eqid 2296 . . . . . 6
74, 5, 6lkrlss 29907 . . . . 5
82, 3, 7syl2anc 642 . . . 4
9 simp2l 981 . . . . 5
10 lkrlsp.v . . . . . 6
11 lkrlsp.n . . . . . 6
1210, 6, 11lspsncl 15750 . . . . 5
132, 9, 12syl2anc 642 . . . 4
14 lkrlsp.p . . . . 5
156, 14lsmcl 15852 . . . 4
162, 8, 13, 15syl3anc 1182 . . 3
1710, 6lssss 15710 . . 3
1816, 17syl 15 . 2
19 simpl1 958 . . . . . . 7
2019, 1syl 15 . . . . . 6
21 simpr 447 . . . . . 6
22 lkrlsp.d . . . . . . . . . 10 Scalar
2322lmodrng 15651 . . . . . . . . 9
2420, 23syl 15 . . . . . . . 8
25 simpl2r 1009 . . . . . . . . 9
26 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
2722, 26, 10, 4lflcl 29876 . . . . . . . . 9
2819, 25, 21, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8
2922lvecdrng 15874 . . . . . . . . . 10
3019, 29syl 15 . . . . . . . . 9
31 simpl2l 1008 . . . . . . . . . 10
3222, 26, 10, 4lflcl 29876 . . . . . . . . . 10
3319, 25, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
34 simpl3 960 . . . . . . . . 9
35 lkrlsp.o . . . . . . . . . 10
36 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
3726, 35, 36drnginvrcl 15545 . . . . . . . . 9
3830, 33, 34, 37syl3anc 1182 . . . . . . . 8
39 eqid 2296 . . . . . . . . 9
4026, 39rngcl 15370 . . . . . . . 8
4124, 28, 38, 40syl3anc 1182 . . . . . . 7
42 eqid 2296 . . . . . . . 8
4310, 22, 42, 26lmodvscl 15660 . . . . . . 7
4420, 41, 31, 43syl3anc 1182 . . . . . 6
45 eqid 2296 . . . . . . 7
46 eqid 2296 . . . . . . 7
4710, 45, 46lmodvnpcan 15695 . . . . . 6
4820, 21, 44, 47syl3anc 1182 . . . . 5
496lsssssubg 15731 . . . . . . . 8 SubGrp
5020, 49syl 15 . . . . . . 7 SubGrp
518adantr 451 . . . . . . 7
5250, 51sseldd 3194 . . . . . 6 SubGrp
5313adantr 451 . . . . . . 7
5450, 53sseldd 3194 . . . . . 6 SubGrp
5510, 46lmodvsubcl 15686 . . . . . . . 8
5620, 21, 44, 55syl3anc 1182 . . . . . . 7
57 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 29879 . . . . . . . . 9
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1186 . . . . . . . 8
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 29880 . . . . . . . . . . 11
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10
6226, 39rngass 15373 . . . . . . . . . . 11
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 15547 . . . . . . . . . . . . 13
6630, 33, 34, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
6766oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
6826, 39, 64rngridm 15381 . . . . . . . . . . . 12
6924, 28, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
7067, 69eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10
7161, 63, 703eqtrd 2332 . . . . . . . . 9
7271oveq2d 5890 . . . . . . . 8
7322lmodfgrp 15652 . . . . . . . . . 10
7420, 73syl 15 . . . . . . . . 9
7526, 35, 57grpsubid 14566 . . . . . . . . 9
7674, 28, 75syl2anc 642 . . . . . . . 8
7759, 72, 763eqtrd 2332 . . . . . . 7
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 29901 . . . . . . . 8
7919, 25, 78syl2anc 642 . . . . . . 7
8056, 77, 79mpbir2and 888 . . . . . 6
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 15774 . . . . . 6
8245, 14lsmelvali 14977 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 1183 . . . . 5
8448, 83eqeltrrd 2371 . . . 4
8584ex 423 . . 3
8685ssrdv 3198 . 2
8718, 86eqssd 3209 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   wss 3165  csn 3653  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164   cplusg 13224  cmulr 13225  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  c0g 13416  cgrp 14378  csg 14381  SubGrpcsubg 14631  clsm 14961  crg 15353  cur 15355  cinvr 15469  cdr 15528  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744  clvec 15871  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897 This theorem is referenced by:  lkrlsp2  29915 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lfl 29870  df-lkr 29898
 Copyright terms: Public domain W3C validator