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Theorem lmbr 17310
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC 
X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 17281. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, F    u, J, y    ph, u    u, P    u, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)

Proof of Theorem lmbr
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmfval 17284 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  J
)  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } )
43breqd 4215 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P
) )
5 reseq1 5131 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  y )  =  ( F  |`  y
) )
65feq1d 5571 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> u ) )
76rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
87imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
98ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
10 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  u  <->  P  e.  u ) )
1110imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1211ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
139, 12sylan9bb 681 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  x  =  P )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
14 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1514opabbii 4264 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
1613, 15brab2ga 4942 . . 3  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
17 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1816, 17bitr4i 244 . 2  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
194, 18syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   {copab 4257   ran crn 4870    |` cres 4871   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^pm cpm 7010   CCcc 8977   ZZ>=cuz 10477  TopOnctopon 16947   ~~> tclm 17278
This theorem is referenced by:  lmbr2  17311  lmfpm  17347  lmcl  17349  lmff  17353  lmmbr  19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-ov 6075  df-top 16951  df-topon 16954  df-lm 17281
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