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Theorem lmbr 17004
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC 
X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 16975. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, F    u, J, y    ph, u    u, P    u, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)

Proof of Theorem lmbr
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmfval 16978 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  J
)  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } )
43breqd 4050 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P
) )
5 reseq1 4965 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  y )  =  ( F  |`  y
) )
65feq1d 5395 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> u ) )
76rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
87imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
98ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
10 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  u  <->  P  e.  u ) )
1110imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1211ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
139, 12sylan9bb 680 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  x  =  P )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
14 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1514opabbii 4099 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
1613, 15brab2ga 4779 . . 3  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
17 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1816, 17bitr4i 243 . 2  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
194, 18syl6bb 252 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   {copab 4092   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   ZZ>=cuz 10246  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972
This theorem is referenced by:  lmbr2  17005  lmfpm  17039  lmcl  17041  lmff  17045  lmmbr  18700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-top 16652  df-topon 16655  df-lm 16975
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