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Theorem lmbr 16982
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC 
X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 16953. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, F    u, J, y    ph, u    u, P    u, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)

Proof of Theorem lmbr
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmfval 16956 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  J
)  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } )
43breqd 4035 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P
) )
5 reseq1 4948 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  y )  =  ( F  |`  y
) )
65feq1d 5344 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> u ) )
76rexbidv 2565 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
87imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
98ralbidv 2564 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
10 eleq1 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  u  <->  P  e.  u ) )
1110imbi1d 310 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1211ralbidv 2564 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
139, 12sylan9bb 683 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  x  =  P )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
14 df-3an 941 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1514opabbii 4084 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
1613, 15brab2ga 4762 . . 3  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
17 df-3an 941 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1816, 17bitr4i 245 . 2  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
194, 18syl6bb 254 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545   class class class wbr 4024   {copab 4077   ran crn 4689    |` cres 4690   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    ^pm cpm 6768   CCcc 8730   ZZ>=cuz 10225  TopOnctopon 16626   ~~> tclm 16950
This theorem is referenced by:  lmbr2  16983  lmfpm  17017  lmcl  17019  lmff  17023  lmmbr  18678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-fv 5229  df-ov 5822  df-top 16630  df-topon 16633  df-lm 16953
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