Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbr2 Structured version   Unicode version

Theorem lmbr2 17325
 Description: Express the binary relation "sequence converges to point " in a metric space using an arbitrary set of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 TopOn
lmbr2.4
lmbr2.5
Assertion
Ref Expression
lmbr2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 TopOn
21lmbr 17324 . 2
3 uzf 10493 . . . . . . . 8
4 ffn 5593 . . . . . . . 8
5 reseq2 5143 . . . . . . . . . 10
6 id 21 . . . . . . . . . 10
75, 6feq12d 5584 . . . . . . . . 9
87rexrn 5874 . . . . . . . 8
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . 7
10 pmfun 7038 . . . . . . . . . . 11
1110ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10
12 ffvresb 5902 . . . . . . . . . 10
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9
1413rexbidv 2728 . . . . . . . 8
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10
1615adantr 453 . . . . . . . . 9
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10
1817rexuz3 12154 . . . . . . . . 9
1916, 18syl 16 . . . . . . . 8
2014, 19bitr4d 249 . . . . . . 7
219, 20syl5bb 250 . . . . . 6
2221imbi2d 309 . . . . 5
2322ralbidv 2727 . . . 4
2423pm5.32da 624 . . 3
25 df-3an 939 . . 3
26 df-3an 939 . . 3
2724, 25, 263bitr4g 281 . 2
282, 27bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cpw 3801   class class class wbr 4214   cdm 4880   crn 4881   cres 4882   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cpm 7021  cc 8990  cz 10284  cuz 10490  TopOnctopon 16961  clm 17292 This theorem is referenced by:  lmbrf  17326  lmcvg  17328  lmres  17366  lmcls  17368  lmcnp  17370 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-top 16965  df-topon 16968  df-lm 17295
 Copyright terms: Public domain W3C validator