MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcau Unicode version

Theorem lmcau 19253
Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
lmcau  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  (
~~> t `  J ) 
C_  ( Cau `  D
) )

Proof of Theorem lmcau
Dummy variables  x  y  f  j  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21methaus 18538 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
3 lmfun 17433 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
4 funfvbrb 5834 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ) )
52, 3, 43syl 19 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  f ( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ) )
6 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
71, 6lmmbr 19199 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X  /\  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y ) ) ) )
87biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X  /\  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y ) ) )
98simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC )
)
10 rphalfcl 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
118simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y ) )
12 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  =  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
13 feq3 5569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  =  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  <->  ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y )  <->  ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1514rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1615rspcv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
1710, 11, 16syl2im 36 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
1817impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
19 uzf 10480 . . . . . . . . 9  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
20 ffn 5582 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
21 reseq2 5132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( f  |`  u )  =  ( f  |`  ( ZZ>= `  j ) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  u  =  ( ZZ>= `  j )
)
2321, 22feq12d 5573 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
2423rexrn 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
2519, 20, 24mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
2618, 25sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
27 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
28 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
298simp2d 970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X )
31 rpre 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3231ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 uzid 10489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3433ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  j ) )
35 fvres 5736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) `  j
)  =  ( f `
 j ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) `  j )  =  ( f `  j ) )
3727, 34ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) `  j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
3836, 37eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f `  j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
39 blhalf 18423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f )  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR  /\  ( f `
 j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) )  C_  (
( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
4028, 30, 32, 38, 39syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  C_  (
( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
41 fss 5590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  /\  (
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  j ) ( ball `  D ) x ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4227, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4342expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  ->  (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
4443reximdva 2810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) ) )
4526, 44mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4645ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
47 iscau 19217 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( f `
 j ) (
ball `  D )
x ) ) ) )
4847adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( f `
 j ) (
ball `  D )
x ) ) ) )
499, 46, 48mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
5049ex 424 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f )  -> 
f  e.  ( Cau `  D ) ) )
515, 50sylbid 207 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5251ssrdv 3346 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  (
~~> t `  J ) 
C_  ( Cau `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204   dom cdm 4869   ran crn 4870    |` cres 4871   Fun wfun 5439    Fn wfn 5440   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^pm cpm 7010   CCcc 8977   RRcr 8978    / cdiv 9666   2c2 10038   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   * Metcxmt 16674   ballcbl 16676   MetOpencmopn 16679   ~~> tclm 17278   Hauscha 17360   Caucca 19194
This theorem is referenced by:  hlimcaui  22727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-icc 10912  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-lm 17281  df-haus 17367  df-cau 19197
  Copyright terms: Public domain W3C validator