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Theorem lmcau 18700
Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
lmcau  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  (
~~> t `  J ) 
C_  ( Cau `  D
) )

Proof of Theorem lmcau
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21methaus 18028 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
3 lmfun 17071 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
4 funfvbrb 5572 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ) )
52, 3, 43syl 20 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  f ( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ) )
6 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
71, 6lmmbr 18646 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X  /\  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y ) ) ) )
87biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X  /\  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y ) ) )
98simp1d 972 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC )
)
10 rphalfcl 10345 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
118simp3d 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y ) )
12 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  =  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
13 feq3 5315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  =  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  <->  ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y )  <->  ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1514rexbidv 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1615rcla4v 2855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
1710, 11, 16syl2im 36 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
1817impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
19 uzf 10200 . . . . . . . . 9  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
20 ffn 5327 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
21 reseq2 4938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( f  |`  u )  =  ( f  |`  ( ZZ>= `  j ) ) )
22 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  u  =  ( ZZ>= `  j )
)
2321, 22feq12d 5319 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
2423rexrn 5601 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
2519, 20, 24mp2b 11 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
2618, 25sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
27 simprr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
28 simplll 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
298simp2d 973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X )
3029ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X )
31 rpre 10327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3231ad2antlr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 uzid 10209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3433ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  j ) )
35 fvres 5475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) `  j
)  =  ( f `
 j ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) `  j )  =  ( f `  j ) )
37 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) `  j
)  e.  ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
3827, 34, 37syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) `  j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
3936, 38eqeltrrd 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f `  j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
40 blhalf 17922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f )  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR  /\  ( f `
 j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) )  C_  (
( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
4128, 30, 32, 39, 40syl22anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  C_  (
( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
42 fss 5335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  /\  (
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  j ) ( ball `  D ) x ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4327, 41, 42syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4443expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  ->  (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
4544reximdva 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) ) )
4626, 45mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4746ralrimiva 2601 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
48 iscau 18664 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( f `
 j ) (
ball `  D )
x ) ) ) )
4948adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( f `
 j ) (
ball `  D )
x ) ) ) )
509, 47, 49mpbir2and 893 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
5150ex 425 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f )  -> 
f  e.  ( Cau `  D ) ) )
525, 51sylbid 208 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5352ssrdv 3160 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  (
~~> t `  J ) 
C_  ( Cau `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599   class class class wbr 3997   dom cdm 4661   ran crn 4662    |` cres 4663   Fun wfun 4667    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ^pm cpm 6741   CCcc 8703   RRcr 8704    / cdiv 9391   2c2 9763   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197   RR+crp 10321   * Metcxmt 16331   ballcbl 16333   MetOpencmopn 16334   ~~> tclm 16918   Hauscha 16998   Caucca 18641
This theorem is referenced by:  hlimcaui  21776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-icc 10629  df-topgen 13306  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-lm 16921  df-haus 17005  df-cau 18644
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