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Theorem lmcau 18754
Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lmcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
lmcau  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  (
~~> t `  J ) 
C_  ( Cau `  D
) )

Proof of Theorem lmcau
Dummy variables  x  y  f  j  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcau.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21methaus 18082 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
3 lmfun 17125 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
4 funfvbrb 5654 . . . 4  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ) )
52, 3, 43syl 18 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  f ( ~~> t `  J
) ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ) )
6 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
71, 6lmmbr 18700 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X  /\  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y ) ) ) )
87biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X  /\  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y ) ) )
98simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  f  e.  ( X  ^pm  CC )
)
10 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
118simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y ) )
12 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  =  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
13 feq3 5393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  =  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  <->  ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y )  <->  ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1514rexbidv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
y )  <->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )
1615rspcv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) y )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
1710, 11, 16syl2im 34 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u
) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
1817impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
19 uzf 10249 . . . . . . . . 9  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
20 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
21 reseq2 4966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( f  |`  u )  =  ( f  |`  ( ZZ>= `  j ) ) )
22 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  u  =  ( ZZ>= `  j )
)
2321, 22feq12d 5397 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  <->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
2423rexrn 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )
2519, 20, 24mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  u ) : u --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) )  <->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
2618, 25sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
27 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
28 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
298simp2d 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ~~> t `  J ) `  f
)  e.  X )
31 rpre 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
3231ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
33 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  j ) )
35 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) `  j
)  =  ( f `
 j ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) `  j )  =  ( f `  j ) )
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) `  j
)  e.  ( ( ( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) ) )
3827, 34, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) `  j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
3936, 38eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f `  j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) )
40 blhalf 17976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( ( ~~> t `  J ) `  f )  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR  /\  ( f `
 j )  e.  ( ( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
( ~~> t `  J
) `  f )
( ball `  D )
( x  /  2
) )  C_  (
( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
4128, 30, 32, 39, 40syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  C_  (
( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
42 fss 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  /\  (
( ( ~~> t `  J ) `  f
) ( ball `  D
) ( x  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  j ) ( ball `  D ) x ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4327, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  ZZ  /\  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) ) ) )  ->  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4443expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  ->  (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
4544reximdva 2668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) (
ball `  D )
( x  /  2
) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) ) )
4626, 45mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  f ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j ) ( ball `  D
) x ) )
4746ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  (
f  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( f `  j
) ( ball `  D
) x ) )
48 iscau 18718 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  ( Cau `  D )  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( f `
 j ) (
ball `  D )
x ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( f  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> ( ( f `
 j ) (
ball `  D )
x ) ) ) )
509, 47, 49mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
5150ex 423 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 f )  -> 
f  e.  ( Cau `  D ) ) )
525, 51sylbid 206 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) ) )
5352ssrdv 3198 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  (
~~> t `  J ) 
C_  ( Cau `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   RRcr 8752    / cdiv 9439   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   ~~> tclm 16972   Hauscha 17052   Caucca 18695
This theorem is referenced by:  hlimcaui  21832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-lm 16975  df-haus 17059  df-cau 18698
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