Theorem lmcl 7932

Description: Closure of a limit.

Hypothesis

Ref	Expression
caun0.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
lmcl	|- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> P e. X)

Proof of Theorem lmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caun0.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	lmbr 7911	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
3		3simp2 788	. . 3 |- ((F (_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))) -> P e. X)
4	2, 3	syl6bi 214	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P -> P e. X))
5	4	3impia 829	1 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> P e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   (_ wss 2045   class class class wbr 2616   X. cxp 3165  dom cdm 3167  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  RRcr 5220  0cc0 5221   <_ cle 5282  ZZcz 5285   < clt 5473  Metcme 7768  ~~>mclm 7902

This theorem is referenced by:  lmuni 7934  lmfexlem3 7941  lmle 7943  metelcls 7948  metcn4i 7955  xplmi 7956  xplmi2 7957  xplm 7958  bopcnlem3 7966  iscms2lem4 7975  nvlmcl 8318

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-opr 3962  df-qs 4263  df-ni 4987  df-nq 5025  df-np 5073  df-nr 5154  df-c 5227  df-lm 7905

Copyright terms: Public domain