Theorem lmclim 7914

Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation.

Hypothesis

Ref	Expression
lmclim.1	|- D = (abs o. - )

Assertion

Ref	Expression
lmclim	|- (P e. A -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))

Proof of Theorem lmclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmclim.1	. . . 4 |- D = (abs o. - )
2	1	cnmet 7856	. . 3 |- D e. Met
3	1	cnmetba 7855	. . . 4 |- CC = dom dom D
4	3	lmbr 7880	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))))
5	2, 4	mpan 694	. 2 |- (P e. A -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))))
6		clim 6923	. . . . . . 7 |- ((F e. V /\ P e. A) -> (F ~~> P <-> (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))))
7		axcnex 5247	. . . . . . . . 9 |- CC e. V
8	7, 7	xpex 3255	. . . . . . . 8 |- (CC X. CC) e. V
9	8	ssex 2714	. . . . . . 7 |- (F (_ (CC X. CC) -> F e. V)
10	6, 9	sylan 448	. . . . . 6 |- ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. A) -> (F ~~> P <-> (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))))
11	1	cnmetdval 7854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` k) e. CC /\ P e. CC) -> ((F` k)DP) = (abs` ((F` k) - P)))
12	11	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((F` k)DP) = (abs` ((F` k) - P)))
13	12	breq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P e. CC /\ (F` k) e. CC) -> (((F` k)DP) < w <-> (abs` ((F` k) - P)) < w))
14	13	pm5.32da 648	. . . . . . . . . . 11 |- (P e. CC -> (((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w) <-> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))
15	14	imbi2d 611	. . . . . . . . . 10 |- (P e. CC -> ((j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))
16	15	rexralbidv 1679	. . . . . . . . 9 |- (P e. CC -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w))))
17	16	imbi2d 611	. . . . . . . 8 |- (P e. CC -> ((0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))) <-> (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))))
18	17	ralbidv 1660	. . . . . . 7 |- (P e. CC -> (A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))) <-> A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))))
19	18	pm5.32i 644	. . . . . 6 |- ((P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - P)) < w)))))
20	10, 19	syl6rbbr 538	. . . . 5 |- ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. A) -> ((P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> F ~~> P))
21	20	ancoms 436	. . . 4 |- ((P e. A /\ F (_ (CC X. CC)) -> ((P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> F ~~> P))
22	21	pm5.32da 648	. . 3 |- (P e. A -> ((F (_ (CC X. CC) /\ (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))) <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))
23		3anass 778	. . 3 |- ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> (F (_ (CC X. CC) /\ (P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w))))))
24	22, 23	syl5bb 531	. 2 |- (P e. A -> ((F (_ (CC X. CC) /\ P e. CC /\ A.w e. RR (0 < w -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ ((F` k)DP) < w)))) <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))
25	5, 24	bitrd 527	1 |- (P e. A -> (F(~~>m` D)P <-> (F (_ (CC X. CC) /\ F ~~> P)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043   class class class wbr 2614   X. cxp 3163   o. ccom 3169  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214   - cmin 5272   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466  abscabs 6689   ~~> cli 6920  Metcme 7739  ~~>mclm 7871

This theorem is referenced by:  lmclimnn 7915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-met 7743  df-lm 7874

Copyright terms: Public domain