Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmclim2 Unicode version

Theorem lmclim2 26485
Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lmclim2.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmclim2.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmclim2.5  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )
lmclim2.6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
lmclim2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  G  ~~>  0 ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, G    x, J    x, X    ph, x    x, Y

Proof of Theorem lmclim2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmclim2.4 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 lmclim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 17901 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 nnuz 10265 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 1z 10055 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
76a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 eqidd 2286 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( F `  k
) )
9 lmclim2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
101, 4, 5, 7, 8, 9lmmbrf 18690 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) ) )
11 lmclim2.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )
12 nnex 9754 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1312mptex 5748 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )  e.  _V
1411, 13eqeltri 2355 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
1514a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
16 fveq2 5527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
1716oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) D Y )  =  ( ( F `
 k ) D Y ) )
18 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k ) D Y )  e. 
_V
1917, 11, 18fvmpt 5604 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k ) D Y ) )
2019adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( ( F `  k ) D Y ) )
212adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
22 ffvelrn 5665 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
239, 22sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
24 lmclim2.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  Y  e.  X )
26 metcl 17899 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D Y )  e.  RR )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D Y )  e.  RR )
2827recnd 8863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D Y )  e.  CC )
295, 7, 15, 20, 28clim0c 11983 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x ) )
305uztrn2 10247 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
31 metge0 17912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  k ) D Y ) )
3221, 23, 25, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( F `  k ) D Y ) )
3327, 32absidd 11907 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  =  ( ( F `  k
) D Y ) )
3433breq1d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D Y )  <  x
) )
3530, 34sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D Y )  <  x
) )
3635anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) D Y ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D Y )  <  x
) )
3736ralbidva 2561 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D Y )  < 
x ) )
3837rexbidva 2562 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) )
3938ralbidv 2565 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) )
4024biantrurd 494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D Y )  < 
x  <->  ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) ) )
4129, 39, 403bitrrd 271 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x )  <-> 
G  ~~>  0 ) )
4210, 41bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  G  ~~>  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    < clt 8869    <_ cle 8870   NNcn 9748   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   abscabs 11721    ~~> cli 11960   * Metcxmt 16371   Metcme 16372   MetOpencmopn 16374   ~~> tclm 16958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-topgen 13346  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-lm 16961
  Copyright terms: Public domain W3C validator