Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmclim2 Unicode version

Theorem lmclim2 26485
 Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2
lmclim2.3
lmclim2.4
lmclim2.5
lmclim2.6
Assertion
Ref Expression
lmclim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lmclim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmclim2.4 . . 3
2 lmclim2.2 . . . 4
3 metxmet 17901 . . . 4
42, 3syl 15 . . 3
5 nnuz 10265 . . 3
6 1z 10055 . . . 4
76a1i 10 . . 3
8 eqidd 2286 . . 3
9 lmclim2.3 . . 3
101, 4, 5, 7, 8, 9lmmbrf 18690 . 2
11 lmclim2.5 . . . . . 6
12 nnex 9754 . . . . . . 7
1312mptex 5748 . . . . . 6
1411, 13eqeltri 2355 . . . . 5
1514a1i 10 . . . 4
16 fveq2 5527 . . . . . . 7
1716oveq1d 5875 . . . . . 6
18 ovex 5885 . . . . . 6
1917, 11, 18fvmpt 5604 . . . . 5
2019adantl 452 . . . 4
212adantr 451 . . . . . 6
22 ffvelrn 5665 . . . . . . 7
239, 22sylan 457 . . . . . 6
24 lmclim2.6 . . . . . . 7
2524adantr 451 . . . . . 6
26 metcl 17899 . . . . . 6
2721, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . . . 5
2827recnd 8863 . . . 4
295, 7, 15, 20, 28clim0c 11983 . . 3
305uztrn2 10247 . . . . . . . 8
31 metge0 17912 . . . . . . . . . . 11
3221, 23, 25, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
3327, 32absidd 11907 . . . . . . . . 9
3433breq1d 4035 . . . . . . . 8
3530, 34sylan2 460 . . . . . . 7
3635anassrs 629 . . . . . 6
3736ralbidva 2561 . . . . 5
3837rexbidva 2562 . . . 4
3938ralbidv 2565 . . 3
4024biantrurd 494 . . 3
4129, 39, 403bitrrd 271 . 2
4210, 41bitrd 244 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1625   wcel 1686  wral 2545  wrex 2546  cvv 2790   class class class wbr 4025   cmpt 4079  wf 5253  cfv 5257  (class class class)co 5860  cr 8738  cc0 8739  c1 8740   clt 8869   cle 8870  cn 9748  cz 10026  cuz 10232  crp 10356  cabs 11721   cli 11960  cxmt 16371  cme 16372  cmopn 16374  clm 16958 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-topgen 13346  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-lm 16961
 Copyright terms: Public domain W3C validator