Theorem lmconst 7931

Description: A constant sequence converges to its value.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
lmbr2.3	|- N e. ZZ
lmbr2.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
lmconst	|- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P})(~~>m` D)P)

Proof of Theorem lmconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2627	. . . . . . . . 9 |- (j = N -> (j <_ k <-> N <_ k))
2	1	imbi1d 615	. . . . . . . 8 |- (j = N -> ((j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x) <-> (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
3	2	ralbidv 1666	. . . . . . 7 |- (j = N -> (A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x) <-> A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
4	3	rcla4ev 1880	. . . . . 6 |- ((N e. Z /\ A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
5		lmbr2.3	. . . . . . . 8 |- N e. ZZ
6		uzidt 6428	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> N e. (ZZ>` N))
7		lmbr2.4	. . . . . . . . 9 |- Z = (ZZ>` N)
8	6, 7	syl6eleqr 1562	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> N e. Z)
9	5, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- N e. Z
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> N e. Z)
11		fvconst2g 3850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. X /\ k e. Z) -> ((Z X. {P})` k) = P)
12	11	adantll 394	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> ((Z X. {P})` k) = P)
13	12	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = (PDP))
14		lmbr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = dom dom D
15	14	met0 7812	. . . . . . . . . . . 12 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (PDP) = 0)
16	15	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (PDP) = 0)
17	13, 16	eqtrd 1510	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = 0)
18	17	adantlr 395	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = 0)
19		simplr 415	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> 0 < x)
20	18, 19	eqbrtrd 2640	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)
21	20	a1d 12	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
22	21	r19.21aiva 1717	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
23	4, 10, 22	sylanc 473	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
24	23	ex 373	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
25	24	a1d 12	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
26	25	r19.21aiv 1716	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
27		fss 3641	. . . . 5 |- (((Z X. {P}):Z-->{P} /\ {P} (_ X) -> (Z X. {P}):Z-->X)
28		fconstg 3665	. . . . 5 |- (P e. X -> (Z X. {P}):Z-->{P})
29		snssi 2470	. . . . 5 |- (P e. X -> {P} (_ X)
30	27, 28, 29	sylanc 473	. . . 4 |- (P e. X -> (Z X. {P}):Z-->X)
31	30	adantl 390	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P}):Z-->X)
32	14, 5, 7	lmbrf2 7928	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ (Z X. {P}):Z-->X) -> ((Z X. {P})(~~>m` D)P <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
33	31, 32	mpd3an3 919	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((Z X. {P})(~~>m` D)P <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
34	26, 33	mpbird 196	1 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P})(~~>m` D)P)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  {csn 2413   class class class wbr 2624   X. cxp 3174  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  Metcme 7786  ~~>mclm 7916

This theorem is referenced by:  metelcls 7962

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-z 6138  df-uz 6419  df-met 7790  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain