Theorem lmcvg2 7871

Description: Convergence property of a converging sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
lmbr2.3	|- N e. ZZ
lmbr2.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
lmcvg2	|- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < R))

Distinct variable groups:   j,k,F   D,j,k   P,j,k   j,N,k   j,X,k   j,Z,k   R,j,k

Proof of Theorem lmcvg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . 3 |- X = dom dom D
2		lmbr2.3	. . 3 |- N e. ZZ
3		lmbr2.4	. . 3 |- Z = (ZZ>` N)
4	1, 2, 3	lmcvg 7870	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < R)))
5		pm3.27 323	. . . . 5 |- (((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < R) -> ((F` k)DP) < R)
6	5	imim2i 17	. . . 4 |- ((j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < R)) -> (j <_ k -> ((F` k)DP) < R))
7	6	r19.20si 1698	. . 3 |- (A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < R)) -> A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < R))
8	7	r19.22si 1726	. 2 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < R)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < R))
9	4, 8	syl 10	1 |- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k)DP) < R))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  ZZ>cuz 6349  Metcme 7728  ~~>mclm 7857

This theorem is referenced by:  lmcvgnns 7879  metelcls 7900  metcnp4 7904  xplmi 7907  xplm 7909  bcthlem13 7945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-z 6083  df-uz 6350  df-lm 7860

Copyright terms: Public domain