Theorem lmfex 7959

Description: If F (not necessarily a function) converges, there is a function g that converges to the same point.

Hypotheses

Ref	Expression
lmfex.1	|- X = dom dom D
lmfex.3	|- N e. ZZ
lmfex.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
lmfex	|- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> E.g(g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P))

Distinct variable groups:   D,g   g,F   P,g   g,X   g,Z

Proof of Theorem lmfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
2		lmfex.1	. . 3 |- X = dom dom D
3		lmfex.3	. . 3 |- N e. ZZ
4		lmfex.4	. . 3 |- Z = (ZZ>` N)
5	1, 2, 3, 4	lmfexlem3 7958	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> ({<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X /\ {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P))
6		fvex 3732	. . . . 5 |- (ZZ>` N) e. V
7	4, 6	eqeltr 1544	. . . 4 |- Z e. V
8	7	opabex2 3610	. . 3 |- {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} e. V
9		feq1 3620	. . . 4 |- (g = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} -> (g:Z-->X <-> {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X))
10		breq1 2622	. . . 4 |- (g = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} -> (g(~~>m` D)P <-> {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P))
11	9, 10	anbi12d 628	. . 3 |- (g = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} -> ((g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P) <-> ({<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X /\ {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P)))
12	8, 11	cla4ev 1869	. 2 |- (({<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}:Z-->X /\ {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))} (~~>m` D)P) -> E.g(g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P))
13	5, 12	syl 10	1 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> E.g(g:Z-->X /\ g(~~>m` D)P))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  ifcif 2361   class class class wbr 2619  {copab 2666  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417  Metcme 7789  ~~>mclm 7919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-uz 6418  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain