Theorem lmfexlem2 7954

Description: Lemma for lmfex 7956. When the value of F exists, it equals the value of G.

Hypothesis

Ref	Expression
lmfexlem1.1	|- G = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}

Assertion

Ref	Expression
lmfexlem2	|- ((J e. Z /\ (F` J) e. X) -> (G` J) = (F` J))

Distinct variable groups:   z,h,F   h,J,z   P,h,z   h,X,z   h,Z,z

Proof of Theorem lmfexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3730	. . . . . . 7 |- (h = J -> (F` h) = (F` J))
2	1	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (h = J -> ((F` h) e. X <-> (F` J) e. X))
3	2	ifbid 2376	. . . . 5 |- (h = J -> if((F` h) e. X, (F` h), P) = if((F` J) e. X, (F` h), P))
4	1	ifeq1d 2373	. . . . 5 |- (h = J -> if((F` J) e. X, (F` h), P) = if((F` J) e. X, (F` J), P))
5	3, 4	eqtrd 1510	. . . 4 |- (h = J -> if((F` h) e. X, (F` h), P) = if((F` J) e. X, (F` J), P))
6		lmfexlem1.1	. . . 4 |- G = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
7	5, 6	fvopab4g 3785	. . 3 |- ((J e. Z /\ if((F` J) e. X, (F` J), P) e. X) -> (G` J) = if((F` J) e. X, (F` J), P))
8		iftrue 2370	. . . 4 |- ((F` J) e. X -> if((F` J) e. X, (F` J), P) = (F` J))
9		id 59	. . . 4 |- ((F` J) e. X -> (F` J) e. X)
10	8, 9	eqeltrd 1551	. . 3 |- ((F` J) e. X -> if((F` J) e. X, (F` J), P) e. X)
11	7, 10	sylan2 453	. 2 |- ((J e. Z /\ (F` J) e. X) -> (G` J) = if((F` J) e. X, (F` J), P))
12	8	adantl 390	. 2 |- ((J e. Z /\ (F` J) e. X) -> if((F` J) e. X, (F` J), P) = (F` J))
13	11, 12	eqtrd 1510	1 |- ((J e. Z /\ (F` J) e. X) -> (G` J) = (F` J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ifcif 2365  {copab 2671  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  lmfexlem3 7955  iscms2lem3 7988  iscms2lem4 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain