Theorem lmfexlem3 7958

Description: Lemma for lmfex 7959. If F converges, so does the function G constructed from it.

Hypotheses

Ref	Expression
lmfexlem1.1	|- G = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
lmfexlem3.1	|- X = dom dom D
lmfexlem3.3	|- N e. ZZ
lmfexlem3.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
lmfexlem3	|- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (G:Z-->X /\ G(~~>m` D)P))

Distinct variable groups:   z,h,F   P,h,z   h,X,z   h,Z,z

Proof of Theorem lmfexlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmfexlem3.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	lmcl 7949	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> P e. X)
3		lmfexlem1.1	. . . 4 |- G = {<.h, z>. | (h e. Z /\ z = if((F` h) e. X, (F` h), P))}
4	3	lmfexlem1 7956	. . 3 |- (P e. X -> G:Z-->X)
5	2, 4	syl 10	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> G:Z-->X)
6		lmfexlem3.3	. . . . . . . 8 |- N e. ZZ
7		lmfexlem3.4	. . . . . . . 8 |- Z = (ZZ>` N)
8	1, 6, 7	lmcvg 7932	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))
9	3	lmfexlem2 7957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((k e. Z /\ (F` k) e. X) -> (G` k) = (F` k))
10	9	opreq1d 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. Z /\ (F` k) e. X) -> ((G` k)DP) = ((F` k)DP))
11	10	breq1d 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. Z /\ (F` k) e. X) -> (((G` k)DP) < x <-> ((F` k)DP) < x))
12	11	biimpar 417	. . . . . . . . . . . 12 |- (((k e. Z /\ (F` k) e. X) /\ ((F` k)DP) < x) -> ((G` k)DP) < x)
13	12	anasss 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. Z /\ ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> ((G` k)DP) < x)
14	13	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- (k e. Z -> (((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x) -> ((G` k)DP) < x))
15	14	imim2d 25	. . . . . . . . 9 |- (k e. Z -> ((j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))
16	15	r19.20i 1704	. . . . . . . 8 |- (A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))
17	16	r19.22si 1734	. . . . . . 7 |- (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))
18	8, 17	syl 10	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))
19	18	exp32 377	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))))
20	19	r19.21aiv 1713	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))
21	2, 20	jca 288	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x))))
22	1, 6, 7	lmbrf 7930	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ G:Z-->X) -> (G(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))))
23	22, 5	syld3an3 870	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (G(~~>m` D)P <-> (P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((G` k)DP) < x)))))
24	21, 23	mpbird 196	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> G(~~>m` D)P)
25	5, 24	jca 288	1 |- ((D e. Met /\ P e. A /\ F(~~>m` D)P) -> (G:Z-->X /\ G(~~>m` D)P))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  ifcif 2361   class class class wbr 2619  {copab 2666  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  Metcme 7789  ~~>mclm 7919

This theorem is referenced by:  lmfex 7959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-uz 6418  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain