Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Unicode version

Theorem lmlim 24325
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on  CC on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
lmlim.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmlim.p  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
lmlim.t  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
lmlim.x  |-  X  C_  CC
Assertion
Ref Expression
lmlim  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( Jt  X )  =  ( Jt  X )
2 nnuz 10513 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 cnex 9063 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
5 lmlim.x . . . . 5  |-  X  C_  CC
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
74, 6ssexd 4342 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
8 lmlim.j . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  Y )
98topontopi 16988 . . . 4  |-  J  e. 
Top
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
11 lmlim.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
12 1z 10303 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
14 lmlim.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 17354 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F ( ~~> t `  ( Jt  X
) ) P ) )
16 lmlim.t . . . . 5  |-  ( Jt  X )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  X )
1716fveq2i 5723 . . . 4  |-  ( ~~> t `  ( Jt  X ) )  =  ( ~~> t `  (
( TopOpen ` fld )t  X ) )
1817breqi 4210 . . 3  |-  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P )
1918a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( Jt  X ) ) P  <-> 
F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P ) )
20 eqid 2435 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  X )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  X )
21 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtop 18810 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 17354 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F ( ~~> t `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
X ) ) P ) )
25 fss 5591 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> X  /\  X  C_  CC )  ->  F : NN --> CC )
2614, 5, 25sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2721, 2lmclimf 19248 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  F : NN --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld )
) P  <->  F  ~~>  P ) )
2812, 26, 27sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( TopOpen ` fld ) ) P  <->  F  ~~>  P ) )
2924, 28bitr3d 247 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  ( ( TopOpen ` fld )t  X ) ) P  <-> 
F  ~~>  P ) )
3015, 19, 293bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   1c1 8983   NNcn 9992   ZZcz 10274    ~~> cli 12270   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   ~~> tclm 17282
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  24326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-lm 17285  df-xms 18342  df-ms 18343
  Copyright terms: Public domain W3C validator