MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr Unicode version

Theorem lmmbr 19075
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC  X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 17208. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    x, P, y    x, X, y   
x, J, y    ph, x
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem lmmbr
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 lmmbr.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32mopntopon 18352 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
54lmbr 17237 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
6 rpxr 10544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
72blopn 18413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) x )  e.  J )
86, 7syl3an3 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) x )  e.  J )
9 blcntr 18331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )
10 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) )
11 feq3 5511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1211rexbidv 2663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
1310, 12imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  ( P ( ball `  D
) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
1413rspcva 2986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) x )  e.  J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  ( P  e.  ( P ( ball `  D ) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1514impancom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) x )  e.  J  /\  P  e.  ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
168, 9, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
17163expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1817adantlrl 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1918impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
2019ralrimiv 2724 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )
212mopni2 18406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  P  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  u
)
22 r19.29 2782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. x  e.  RR+  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  /\  ( P (
ball `  D )
x )  C_  u
) )
23 fss 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  y
) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  ( F  |`  y ) : y --> u )
2423expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  u  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  ( F  |`  y ) : y --> u ) )
2524reximdv 2753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  u  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
2625impcom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2726rexlimivw 2762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  RR+  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2921, 28sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  P  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
30293exp2 1171 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
3130impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
3231adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
3332ralrimiv 2724 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
3420, 33impbida 806 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
3534pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
36 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
37 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
3835, 36, 373bitr4g 280 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
391, 38syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
405, 39bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   class class class wbr 4146   ran crn 4812    |` cres 4813   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^pm cpm 6948   CCcc 8914   RR*cxr 9045   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   * Metcxmt 16605   ballcbl 16607   MetOpencmopn 16610  TopOnctopon 16875   ~~> tclm 17205
This theorem is referenced by:  lmmbr2  19076  lmcau  19129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-lm 17208
  Copyright terms: Public domain W3C validator