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Theorem lmmbr 18678
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC  X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 16953. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, F, y    x, P, y    x, X, y   
x, J, y    ph, x
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem lmmbr
StepHypRef Expression
1 lmmbr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 lmmbr.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32mopntopon 17979 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
41, 3syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
54lmbr 16982 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
6 rpxr 10356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
72blopn 18040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) x )  e.  J )
86, 7syl3an3 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  D ) x )  e.  J )
9 blcntr 17958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )
10 eleq2 2345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) )
11 feq3 5342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1211rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
1310, 12imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( P (
ball `  D )
x )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  ( P ( ball `  D
) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
1413rspcva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) x )  e.  J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  ( P  e.  ( P ( ball `  D ) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1514impancom 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ( ball `  D ) x )  e.  J  /\  P  e.  ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
168, 9, 15syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
17163expa 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1817adantlrl 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
1918impancom 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
2019ralrimiv 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )
212mopni2 18033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  P  e.  u
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  u
)
22 r19.29 2684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. x  e.  RR+  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  /\  ( P (
ball `  D )
x )  C_  u
) )
23 fss 5362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  |`  y
) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  ( F  |`  y ) : y --> u )
2423expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  u  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  ( F  |`  y ) : y --> u ) )
2524reximdv 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  u  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
2625impcom 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2726rexlimivw 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  RR+  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  u )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
2921, 28sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  /\  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  P  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )
30293exp2 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
3130impcom 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
3231adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  ( u  e.  J  ->  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
3332ralrimiv 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
3420, 33impbida 808 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
3534pm5.32da 625 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
36 df-3an 941 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
37 df-3an 941 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
3835, 36, 373bitr4g 281 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
391, 38syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
405, 39bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   class class class wbr 4024   ran crn 4689    |` cres 4690   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    ^pm cpm 6768   CCcc 8730   RR*cxr 8861   ZZ>=cuz 10225   RR+crp 10349   * Metcxmt 16363   ballcbl 16365   MetOpencmopn 16366  TopOnctopon 16626   ~~> tclm 16950
This theorem is referenced by:  lmmbr2  18679  lmcau  18732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-lm 16953
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