MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr2 Unicode version

Theorem lmmbr2 18612
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC  X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 16886. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmmbr2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    ph, j, k, x
Allowed substitution hints:    J( j, k)

Proof of Theorem lmmbr2
StepHypRef Expression
1 lmmbr.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 lmmbr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
31, 2lmmbr 18611 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
4 df-3an 941 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
5 uzf 10165 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 reseq2 4903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) )
8 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  y  =  ( ZZ>= `  j )
)
97, 8feq12d 5284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> ( P (
ball `  D )
x )  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
109rexrn 5566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  <->  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
115, 6, 10mp2b 11 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x ) )
12 simp2l 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
13 elfvdm 5453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
14133ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  X  e.  dom  * Met )
15 cnex 8751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
16 elpmg 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
1714, 15, 16sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
1812, 17mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
1918simpld 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  Fun  F )
20 ffvresb 5589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
22 rpxr 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
23 elbl 17876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  ( P D ( F `  k ) )  < 
x ) ) )
2422, 23syl3an3 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  ( P D ( F `  k ) )  < 
x ) ) )
25 xmetsym 17839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( P D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D P ) )
2625breq1d 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( P D ( F `  k ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D P )  <  x
) )
27263expa 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  (
( P D ( F `  k ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D P )  <  x
) )
2827pm5.32da 625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( P D ( F `
 k ) )  <  x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
29283adant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( P D ( F `  k ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3024, 29bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
31303adant2l 1181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D ) x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3231anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  < 
x ) ) ) )
33 3anass 943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  < 
x ) ) )
3432, 33syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3534ralbidv 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( P (
ball `  D )
x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3621, 35bitrd 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3736rexbidv 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3811, 37syl5bb 250 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
39383expa 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
4039ralbidva 2530 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
4140pm5.32da 625 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
422, 41syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
434, 42syl5bb 250 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
44 df-3an 941 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
4543, 44syl6bbr 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
463, 45bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566   class class class wbr 3963    X. cxp 4624   dom cdm 4626   ran crn 4627    |` cres 4628   Fun wfun 4632    Fn wfn 4633   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    ^pm cpm 6706   CCcc 8668   RR*cxr 8799    < clt 8800   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   RR+crp 10286   * Metcxmt 16296   ballcbl 16298   MetOpencmopn 16299   ~~> tclm 16883
This theorem is referenced by:  lmmbr3  18613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-topgen 13271  df-xmet 16300  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-lm 16886
  Copyright terms: Public domain W3C validator