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Theorem lmmbr2 19214
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC  X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 17295. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmmbr.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmmbr2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    P, j, k, x   
j, X, k, x   
x, J    ph, j, k, x
Allowed substitution hints:    J( j, k)

Proof of Theorem lmmbr2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 lmmbr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
31, 2lmmbr 19213 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
4 df-3an 939 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) ) )
5 uzf 10493 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
6 ffn 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
7 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) )
8 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  y  =  ( ZZ>= `  j )
)
97, 8feq12d 5584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> ( P (
ball `  D )
x )  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
109rexrn 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  <->  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x ) ) )
115, 6, 10mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x ) )
12 simp2l 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
13 elfvdm 5759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
14133ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  X  e.  dom  * Met )
15 cnex 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  e.  _V
16 elpmg 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
1714, 15, 16sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
1812, 17mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) )
1918simpld 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  Fun  F )
20 ffvresb 5902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x ) ) ) )
22 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
23 elbl 18420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  ( P D ( F `  k ) )  < 
x ) ) )
2422, 23syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  ( P D ( F `  k ) )  < 
x ) ) )
25 xmetsym 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( P D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D P ) )
2625breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( P D ( F `  k ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D P )  <  x
) )
27263expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  (
( P D ( F `  k ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D P )  <  x
) )
2827pm5.32da 624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( P D ( F `
 k ) )  <  x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
29283adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( P D ( F `  k ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
3024, 29bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
31303adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( P ( ball `  D ) x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3231anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  < 
x ) ) ) )
33 3anass 941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  < 
x ) ) )
3432, 33syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3534ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( P (
ball `  D )
x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3621, 35bitrd 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3736rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
3811, 37syl5bb 250 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) )
39383expa 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
4039ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
4140pm5.32da 624 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e. 
ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
422, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D ) x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
434, 42syl5bb 250 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) ) )
44 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D P )  <  x ) ) )
4543, 44syl6bbr 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> ( P ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
463, 45bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D P )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^pm cpm 7021   CCcc 8990   RR*cxr 9121    < clt 9122   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690   MetOpencmopn 16693   ~~> tclm 17292
This theorem is referenced by:  lmmbr3  19215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-lm 17295
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