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Theorem lmmo 17124
Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmo.1  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
lmmo.4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
lmmo.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
Assertion
Ref Expression
lmmo  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem lmmo
Dummy variables  j 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  /\  ( A  e.  x  /\  B  e.  y ) )  <->  ( (
x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y
) ) )
2 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  A  e.  x )
4 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
54a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  -> 
1  e.  ZZ )
6 lmmo.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
76adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
8 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  x  e.  J )
92, 3, 5, 7, 8lmcvg 17008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  x )
109ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x ) )
11 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  B  e.  y )
124a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  -> 
1  e.  ZZ )
13 lmmo.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) B )
15 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  -> 
y  e.  J )
162, 11, 12, 14, 15lmcvg 17008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  J  /\  B  e.  y ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y )
1716ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  /\  B  e.  y )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  y ) )
1810, 17anim12d 546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  (
y  e.  J  /\  B  e.  y )
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y ) ) )
192rexanuz2 11849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  y ) )
20 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
21 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
22 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
24 r19.2z 3556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )
25 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y ) )
26 n0i 3473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  k )  e.  ( x  i^i  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2725, 26sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2827rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
2924, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k
)  e.  y ) )  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) )
3023, 29sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y ) )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
3130rexlimiva 2675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  x  /\  ( F `  k )  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) )
3219, 31sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  x  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y )  =  (/) )
3318, 32syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  A  e.  x )  /\  (
y  e.  J  /\  B  e.  y )
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
341, 33syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  /\  ( A  e.  x  /\  B  e.  y )
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
3534expdimp 426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  ->  -.  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
36 imnan 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y
)  ->  -.  (
x  i^i  y )  =  (/) )  <->  -.  (
( A  e.  x  /\  B  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
3735, 36sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  -.  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
38 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( ( A  e.  x  /\  B  e.  y )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
3937, 38sylnibr 296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  -.  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4039anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  J )  /\  y  e.  J )  ->  -.  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4140nrexdv 2659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  -.  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
4241nrexdv 2659 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
43 lmmo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
44 haustop 17075 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
46 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4746toptopon 16687 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
4845, 47sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
49 lmcl 17041 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  U. J )
5048, 6, 49syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  U. J
)
51 lmcl 17041 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  F
( ~~> t `  J
) B )  ->  B  e.  U. J )
5248, 13, 51syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. J
)
5346hausnei 17072 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( A  e.  U. J  /\  B  e.  U. J  /\  A  =/=  B ) )  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
54533exp2 1169 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( A  e.  U. J  -> 
( B  e.  U. J  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) ) ) ) )
5543, 50, 52, 54syl3c 57 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) ) )
5655necon1bd 2527 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  E. x  e.  J  E. y  e.  J  ( A  e.  x  /\  B  e.  y  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  A  =  B ) )
5742, 56mpd 14 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   1c1 8754   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972   Hauscha 17052
This theorem is referenced by:  lmfun  17125  occllem  21898  nlelchi  22657  hmopidmchi  22747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-z 10041  df-uz 10247  df-top 16652  df-topon 16655  df-lm 16975  df-haus 17059
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