MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vrid Structured version   Unicode version

Theorem lmod0vrid 15973
Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 22499 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
0vlid.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
0vlid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmod0vrid  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem lmod0vrid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 15949 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 0vlid.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 0vlid.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
4 0vlid.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
52, 3, 4grprid 14828 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
61, 5sylan 458 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   LModclmod 15942
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  15979  lssvscl  16023  lspfixed  16192  lsmcv  16205  lspsolvlem  16206  lspsolv  16207  lfl0  29800  lflmul  29803  lshpkrlem1  29845  lclkrlem2j  32251  lcfrlem7  32283  mapdh6dN  32474  hdmap1l6d  32549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-lmod 15944
  Copyright terms: Public domain W3C validator