Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvneg1 Unicode version

Theorem lmodvneg1 15594
 Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvneg1.v
lmodvneg1.n
lmodvneg1.f Scalar
lmodvneg1.s
lmodvneg1.u
lmodvneg1.m
Assertion
Ref Expression
lmodvneg1

Proof of Theorem lmodvneg1
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4
2 lmodvneg1.f . . . . . . 7 Scalar
32lmodfgrp 15563 . . . . . 6
43adantr 453 . . . . 5
5 eqid 2256 . . . . . . 7
6 lmodvneg1.u . . . . . . 7
72, 5, 6lmod1cl 15584 . . . . . 6
87adantr 453 . . . . 5
9 lmodvneg1.m . . . . . 6
105, 9grpinvcl 14454 . . . . 5
114, 8, 10syl2anc 645 . . . 4
12 simpr 449 . . . 4
13 lmodvneg1.v . . . . 5
14 lmodvneg1.s . . . . 5
1513, 2, 14, 5lmodvscl 15571 . . . 4
161, 11, 12, 15syl3anc 1187 . . 3
17 eqid 2256 . . . 4
18 eqid 2256 . . . 4
1913, 17, 18lmod0vrid 15588 . . 3
2016, 19syldan 458 . 2
21 lmodvneg1.n . . . . . 6
2213, 21lmodvnegcl 15592 . . . . 5
2313, 17lmodass 15569 . . . . 5
241, 16, 12, 22, 23syl13anc 1189 . . . 4
2513, 2, 14, 6lmodvs1 15585 . . . . . . 7
2625oveq2d 5773 . . . . . 6
27 eqid 2256 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2256 . . . . . . . . . 10
295, 27, 28, 9grplinv 14455 . . . . . . . . 9
304, 8, 29syl2anc 645 . . . . . . . 8
3130oveq1d 5772 . . . . . . 7
3213, 17, 2, 14, 5, 27lmodvsdir 15579 . . . . . . . 8
331, 11, 8, 12, 32syl13anc 1189 . . . . . . 7
3413, 2, 14, 28, 18lmod0vs 15590 . . . . . . 7
3531, 33, 343eqtr3d 2296 . . . . . 6
3626, 35eqtr3d 2290 . . . . 5
3736oveq1d 5772 . . . 4
3824, 37eqtr3d 2290 . . 3
3913, 17, 18, 21lmodvnegid 15593 . . . 4
4039oveq2d 5773 . . 3
4113, 17, 18lmod0vlid 15587 . . . 4
4222, 41syldan 458 . . 3
4338, 40, 423eqtr3d 2296 . 2
4420, 43eqtr3d 2290 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  cfv 4638  (class class class)co 5757  cbs 13075   cplusg 13135  Scalarcsca 13138  cvsca 13139  c0g 13327  cgrp 14289  cminusg 14290  cur 15266  clmod 15554 This theorem is referenced by:  lmodvsnegOLD  15595  lmodvsneg  15596  lmodvsubval2  15607  lssvnegcl  15640  lspsnneg  15690  lmodvsinv  15720  lspsolvlem  15822  tlmtgp  17805  clmvneg1  18516  deg1invg  19419 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-plusg 13148  df-0g 13331  df-mnd 14294  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-lmod 15556
 Copyright terms: Public domain W3C validator