MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Unicode version

Theorem lmodvs0 15904
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 22367 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs0.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs0.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvs0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvs0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 15878 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmodvs0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
5 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
63, 4, 5rngrz 15621 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
72, 6sylan 458 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
87oveq1d 6028 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )
9 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
10 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
112adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  F  e.  Ring )
123, 5rng0cl 15605 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 0g
`  F )  e.  K )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( 0g `  F )  e.  K )
14 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
15 lmodvs0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1614, 15lmod0vcl 15899 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
1716adantr 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  ( Base `  W
) )
18 lmodvs0.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 15895 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  K  /\  ( 0g `  F )  e.  K  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( ( X ( .r `  F ) ( 0g `  F
) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 15903 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2217, 21syldan 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2322oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2420, 23eqtrd 2412 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
258, 24, 223eqtr3d 2420 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   .rcmulr 13450  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453   0gc0g 13643   Ringcrg 15580   LModclmod 15870
This theorem is referenced by:  lsssn0  15944  lmodvsinv2  16033  0lmhm  16036  lvecvs0or  16100  dsmmlss  26872  lcdvs0N  31782  hdmap14lem13  32049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-lmod 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator