MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Unicode version

Theorem lmodvs0 15666
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 21605 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvs0.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvs0.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvs0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvs0  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
21lmodrng 15637 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
3 lmodvs0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
4 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
5 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
63, 4, 5rngrz 15380 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
72, 6sylan 457 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X ( .r `  F ) ( 0g
`  F ) )  =  ( 0g `  F ) )
87oveq1d 5875 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )
9 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
10 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
112adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  F  e.  Ring )
123, 5rng0cl 15364 . . . . 5  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 0g
`  F )  e.  K )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( 0g `  F )  e.  K )
14 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
15 lmodvs0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1614, 15lmod0vcl 15661 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  W )
)
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  ( Base `  W
) )
18 lmodvs0.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 15656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  e.  K  /\  ( 0g `  F )  e.  K  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( ( X ( .r `  F ) ( 0g `  F
) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  ( ( 0g `  F )  .x.  .0.  ) ) )
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 15665 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  .0.  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2217, 21syldan 456 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2322oveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  ( ( 0g
`  F )  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2420, 23eqtrd 2317 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  (
( X ( .r
`  F ) ( 0g `  F ) )  .x.  .0.  )  =  ( X  .x.  .0.  ) )
258, 24, 223eqtr3d 2325 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  K )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   .rcmulr 13211  Scalarcsca 13213   .scvsca 13214   0gc0g 13402   Ringcrg 15339   LModclmod 15629
This theorem is referenced by:  lsssn0  15707  lmodvsinv2  15796  0lmhm  15799  lvecvs0or  15863  dsmmlss  27221  lcdvs0N  31879  hdmap14lem13  32146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-plusg 13223  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-lmod 15631
  Copyright terms: Public domain W3C validator